Encontre a divergência dos campos vetoriais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para encontrar a divergência de um campo vetorial dado por
. A divergência é um conceito da Cálculo Vetorial que nos ajuda a entender como um campo vetorial está se comportando em um ponto específico. Para resolver isso, a gente vai precisar usar a fórmula da divergência e calcular algumas derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, bora relembrar a fórmula da divergência. Se a gente tem um campo vetorial
, a divergência de
, denotada por
, é dada por:
Isso significa que a gente vai calcular a derivada de cada componente do vetor em relação à sua respectiva variável e somar tudo.
Passo 3
Agora, vamos identificar cada componente do nosso campo vetorial:
Vamos calcular cada derivada parcial uma por uma.
Passo 4
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Porque
é tratado como uma constante quando derivamos em relação a
.
Segundo, a derivada de
em relação a
:
Pelo mesmo motivo:
é constante em relação a
.
Terceiro, a derivada de
em relação a
:
Aqui também,
é constante quando derivamos em relação a
.
Passo 5
Agora, vamos somar todas essas derivadas parciais para obter a divergência:
Resposta
A divergência do campo vetorial
é 0.
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e considere a série
. Para quais valores de
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.)
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Verifique que o vetor posição
tem a propriedade enunciada: