Encontre a divergência dos campos vetoriais: u = <y, z, x>

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para encontrar a divergência de um campo vetorial dado por . A divergência é um conceito da Cálculo Vetorial que nos ajuda a entender como um campo vetorial está se comportando em um ponto específico. Para resolver isso, a gente vai precisar usar a fórmula da divergência e calcular algumas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, bora relembrar a fórmula da divergência. Se a gente tem um campo vetorial , a divergência de , denotada por , é dada por:
Isso significa que a gente vai calcular a derivada de cada componente do vetor em relação à sua respectiva variável e somar tudo.

Passo 3

Agora, vamos identificar cada componente do nosso campo vetorial:
Vamos calcular cada derivada parcial uma por uma.

Passo 4

Primeiro, a derivada de em relação a :
Porque é tratado como uma constante quando derivamos em relação a .
Segundo, a derivada de em relação a :
Pelo mesmo motivo: é constante em relação a .
Terceiro, a derivada de em relação a :
Aqui também, é constante quando derivamos em relação a .

Passo 5

Agora, vamos somar todas essas derivadas parciais para obter a divergência:

Resposta

A divergência do campo vetorial é 0.

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sumn=1^infty e^n^2n^n
Fixe um número real a>0 e considere a série sumn=1^infty 1a^ln (n). Para quais valores de a esta série é convergente? (Sugestão: note que a^ln n=e^(ln a)(ln n)=n^ln a.)
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