Use o Critério da Raiz para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty(raizn+4-raizn)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o Critério da Raiz para estudar se a série converge ou não. Então, vamos precisar entender como aplicar esse critério e calcular o limite que ele exige.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão raizn+4 - raizn = (raizn+4 - raizn)(raizn+4 + raizn)raizn+4 + raizn = (n+4) - nraizn+4 + raizn = 4raizn+4 + raizn . Para isso, multiplicamos e dividimos por para facilitar:

Passo 3

Agora, a expressão da série fica:
(raizn+4 - raizn)^n = (4raizn+4 + raizn)^n
Para facilitar, notamos que conforme 4raizn+4 + raizn approx 42raizn = 2raizn cresce, . Então, podemos aproximar:

Passo 4

Agora, aplicamos o Critério da Raiz, que diz que para a série L = limn to infty raiz[n]|an| , devemos calcular:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o critério é inconclusivo.

Passo 5

No nosso caso, raiz[n]|an| = raiz[n](2raizn)^n = 2raizn , então:

Passo 6

Calculando o limite:
L = limn to infty 2raizn = 0

Passo 7

Como , pelo Critério da Raiz, a série converge.

Resposta

A série converge.

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Calcule o produto nabla . (f x g): f(x, y, z) = < x, y, -z >
Use o Critério da Raiz para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty(4 n^2-23 n^2+5)^n
SENDO z=f(x, y)=(x^2+y) e^x DETERMINE
a) partial^2 fpartial x partial y
Calcule o produto nabla . (nabla x f): f(x, y, z) = <sen(x), cos(x - y), z>