Calcule o produto nabla . (nabla x f): f(x, y, z) = <sen(x), cos(x - y), z>

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para calcular o produto nabla . (nabla x f), onde a função vetorial é . Esse problema está relacionado ao cálculo vetorial, especificamente aos operadores gradiente ( nabla), divergente ( ) e rotacional ( nabla vezes). Para resolver, vamos precisar entender como calcular o rotacional de um campo vetorial e, depois, a divergente desse rotacional.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de f, ou seja, . O rotacional de um vetor é dado pela seguinte matriz determinante:
Substituindo :
Vamos calcular cada componente:
  • Componente i:
  • Componente j:
  • Componente k:
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos calcular a divergente do rotacional que acabamos de encontrar, ou seja, . A divergente de um vetor é dada por:
Aplicando isso ao nosso rotacional :
Calculando cada termo:
Somando todos:

Resposta

O produto nabla . (nabla x f) é igual a 0.

Exercícios relacionados

SENDO z=f(x, y)=(x^2+y) e^x DETERMINE
a) partial^2 fpartial x partial y
Use o Critério da Raiz para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty(raizn+4-raizn)^n
Use o Critério da Comparação pelo Limite para mostrar que a série sumn=1^infty 1n(nn+1)^n é divergente. O Critério da Raiz é conclusivo, neste caso? Justifique.
Use o Critério da Razão para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty (n!)^3(2 n)!n