Use a definição de derivada para mostrar que, se , então . (Isso demonstra a Regra da Potência para o caso .)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a definição de derivada para mostrar que, se , então a derivada . Isso está ligado à Regra da Potência quando o expoente .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de derivada. A derivada de uma função em um ponto é o limite da taxa de variação de quando o incremento tende a zero. Matematicamente, isso é expresso por:

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso à nossa função . Primeiro, substituímos na definição:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão no numerador. Para isso, precisamos encontrar um denominador comum para as frações:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da derivada:

Passo 6

Agora, podemos cancelar o no numerador e denominador. Restou:

Passo 7

Finalmente, quando tende a zero, se aproxima de . Então, substituímos por 0:

Resposta

Portanto, a derivada de é .

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Derive a função.
Encontre os valores máximo e mínimo locais e absolutos das funções dadas abaixo.
$(a) ;
Encontre os valores máximo e mínimo locais e absolutos das funções dadas abaixo.
$(d) ;