Use a definição de derivada para mostrar que, se
, então
. (Isso demonstra a Regra da Potência para o caso
.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a definição de derivada para mostrar que, se
, então a derivada
. Isso está ligado à Regra da Potência quando o expoente
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a definição de derivada. A derivada de uma função
em um ponto
é o limite da taxa de variação de
quando o incremento
tende a zero. Matematicamente, isso é expresso por:
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa função
. Primeiro, substituímos na definição:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão no numerador. Para isso, precisamos encontrar um denominador comum para as frações:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da derivada:
Passo 6
Agora, podemos cancelar o
no numerador e denominador. Restou:
Passo 7
Finalmente, quando
tende a zero,
se aproxima de
. Então, substituímos
por 0:
Resposta
Portanto, a derivada de
é
.
Exercícios relacionados
Derive a função.
Encontre os valores máximo e mínimo locais e absolutos das funções dadas abaixo.
$(a) ;
$(a)
Encontre os valores máximo e mínimo locais e absolutos das funções dadas abaixo.
$(d) ;
$(d)