Encontre os valores máximo e mínimo locais e absolutos das funções dadas abaixo.
$(d)
;
$(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos, tanto locais quanto absolutos, da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, que nos ajudam a identificar esses pontos especiais na função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, e onde essa derivada é zero, podemos ter máximos ou mínimos locais.
A função é:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada é igual a zero:
Vamos resolver essa equação:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, encontramos a segunda derivada da funç��o:
A primeira derivada é:
A segunda derivada é:
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de mínimo local.
Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de máximo local.
Passo 5
Agora, vamos verificar se existem máximos ou mínimos absolutos. Funções polinomiais de grau ímpar, como essa, tendem ao infinito positivo e negativo conforme
vai para
ou
. Isso significa que a função não tem limites superiores ou inferiores absolutos.
Portanto, não há máximos ou mínimos absolutos para essa função.
Resposta
A função
tem:
- Um máximo local em
. - Um mínimo local em
.
Não há máximos ou mínimos absolutos.
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$(a) ;
$(a)
Use a definição de derivada para mostrar que, se
, então
. (Isso demonstra a Regra da Potência para o caso
.)
Encontre os valores máximo e mínimo locais e absolutos das funções dadas abaixo.
$(e) ;
$(e)
Achar as dimensões de uma caixa sem tampa de maior volume possível a ser conbstruída com uma mámina retangular de zinco de 2 cm por 4 cm .