Encontre os valores máximo e mínimo locais e absolutos das funções dadas abaixo.
$(d) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos, tanto locais quanto absolutos, da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, que nos ajudam a identificar esses pontos especiais na função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto, e onde essa derivada é zero, podemos ter máximos ou mínimos locais.
A função é:
A derivada de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde a derivada é igual a zero:
Vamos resolver essa equação:
Isso nos dá duas soluções:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Para determinar se esses pontos críticos são máximos ou mínimos, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, encontramos a segunda derivada da funç��o:
A primeira derivada é:
A segunda derivada é:
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
Para :
Como , isso indica que é um ponto de mínimo local.
Para :
Como , isso indica que é um ponto de máximo local.

Passo 5

Agora, vamos verificar se existem máximos ou mínimos absolutos. Funções polinomiais de grau ímpar, como essa, tendem ao infinito positivo e negativo conforme vai para ou . Isso significa que a função não tem limites superiores ou inferiores absolutos.
Portanto, não há máximos ou mínimos absolutos para essa função.

Resposta

A função tem:
  • Um máximo local em .
  • Um mínimo local em .
Não há máximos ou mínimos absolutos.

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