Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
a) sumn=1^infty n^3(x-4)^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em quais valores de a série converge. Isso é matéria de séries de potências, e para resolver usamos o Teste da Razão. Vamos precisar entender como aplicar esse teste para encontrar o intervalo de convergência e identificar em torno de qual ponto a série está centrada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar em torno de qual ponto a série está centrada. Olha só, a parte indica que a série está centrada em . Isso significa que nossa análise vai girar em torno desse ponto.

Passo 3

Agora, vamos usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência da série. O teste da razão nos ajuda a determinar para quais valores de L = limn to infty | an+1an | a série vai convergir.
A fórmula do Teste da Razão é:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos aplicar isso à nossa série. Aqui, an+1an = (n+1)^3(x - 4)^n+1n^3(x - 4)^n = (n+1n)^3 cdot (x - 4) . Então, .
Vamos montar a razão:

Passo 5

Simplificando a expressão:
(n+1n)^3 = (1 + 1n)^3
Quando L = limn to infty | 1 cdot (x - 4) | = |x - 4| tende ao infinito, tende a 1. Então, o limite fica:

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que |x - 4| < 1 :
-1 < x - 4 < 1
Isso significa que:
3 < x < 5
Adicionando 4 em todas as partes:

Passo 7

Então, o raio de convergência é 1, e o intervalo onde a série converge é de até . Precisamos verificar os pontos finais para ver se a série converge nesses valores.

Passo 8

Vamos testar sumn=1^infty n^3(3 - 4)^n = sumn=1^infty n^3(-1)^n :
sumn=1^infty n^3(5 - 4)^n = sumn=1^infty n^3(1)^n = sumn=1^infty n^3
Essa série é alternada, mas os termos não tendem a zero, então a série não converge em .
Agora, em :
Essa série é uma série p com , que também não converge.

Resposta

A série converge para no intervalo e está centrada em .

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