Determine os intervalos de convergência das séries abaixo e diga em qual valor elas estão centradas:
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em quais valores de a série converge. Isso é matéria de séries de potências, e para resolver usamos o Teste da Razão. Vamos precisar entender como aplicar esse teste para encontrar o intervalo de convergência e identificar em torno de qual ponto a série está centrada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar em torno de qual ponto a série está centrada. Olha só, a parte indica que a série está centrada em . Isso significa que nossa análise vai girar em torno desse ponto.
Passo 3
Agora, vamos usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência da série. O teste da razão nos ajuda a determinar para quais valores de a série vai convergir.
A fórmula do Teste da Razão é:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Quando L = limn to infty | 1 cdot (x - 4) | = |x - 4| tende ao infinito, tende a 1. Então, o limite fica:
Passo 6
Para a série convergir, precisamos que |x - 4| < 1 :
-1 < x - 4 < 1
Isso significa que:
3 < x < 5
Adicionando 4 em todas as partes:
Passo 7
Então, o raio de convergência é 1, e o intervalo onde a série converge é de até . Precisamos verificar os pontos finais para ver se a série converge nesses valores.