Use a definição de produto escalar, a cdot b=a b cos theta e o fato de que a b=ax bx+ay by+az bz, e calcule o ângulo entre os vetores a=3 imath+3 jmath+3 k e b=2 imath+jmath+3 k

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, a = 3 imath + 3 jmath + 3 k e b = 2 imath + jmath + 3 k. O objetivo é calcular o ângulo entre esses dois vetores usando a definição de produto escalar. Para isso, vamos precisar conhecer:
  • A definição de produto escalar: a cdot b = a b cos theta
  • A fórmula do produto escalar em componentes: a cdot b = ax bx + ay by + az bz
  • As normas (comprimentos) dos vetores a e b

Passo 2

Vamos calcular o produto escalar a cdot b usando as componentes dos vetores:
a cdot b = (3)(2) + (3)(1) + (3)(3) = 6 + 3 + 9 = 18

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as normas dos vetores a e b. A norma de um vetor v = vx imath + vy jmath + vz k é dada por:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Calculando para a:
|a| = raiz3^2 + 3^2 + 3^2 = raiz9 + 9 + 9 = raiz27 = 3raiz3
E para b:
|b| = raiz2^2 + 1^2 + 3^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14

Passo 4

Agora que temos o produto escalar e as normas dos vetores, podemos usar a definição de produto escalar para encontrar o ângulo theta entre eles:
a cdot b = |a| |b| cos theta
Substituindo os valores que encontramos:
18 = (3raiz3)(raiz14) cos theta

Passo 5

Vamos resolver para cos theta:
cos theta = 183raiz3 cdot raiz14 = 183raiz42 = 6raiz42
Simplificando:
cos theta = 6raiz42 approx 66.4807 approx 0.9258

Passo 6

Por fim, para encontrar o ângulo theta, usamos a função arco cosseno:
theta = cos^-1(0.9258) approx 22.5^circ

Resposta

O ângulo entre os vetores a e b é aproximadamente 22,5^circ.

Exercícios relacionados