Use derivação implicita para obter dy/dx.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar derivação implícita para encontrar
na equação
. Derivação implícita é útil quando
está ligado a
de forma que não dá pra isolar
facilmente. Vamos precisar lembrar das regras de derivação, especialmente a da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando derivamos termos que envolvem
, usamos a regra da cadeia.
Passo 3
Vamos começar diferenciando o lado esquerdo
. Usamos a regra da cadeia aqui:
E derivando
:
Então, o lado esquerdo fica:
Passo 4
Agora, vamos derivar o lado direito
. Aqui usamos a regra do produto, que diz que
:
Sabendo que
, fica:
Passo 5
Agora, juntamos as derivadas dos dois lados:
Nosso objetivo é isolar
. Vamos distribuir o
no lado esquerdo:
Passo 6
Vamos reunir os termos que têm
de um lado e os demais do outro lado:
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 7
Para isolar
, dividimos ambos os lados pela
:
Podemos simplificar multiplicando o numerador e denominador por
:
Resposta
Então, a derivada
é:
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Um terreno possui forma triangular, em que o lado maior mede 100 m, o maior ângulo entre os lados é
e um dos outros dois ângulos é metade do outro. Calcule o lado menor desse triângulo.
Use derivação implicita para obter dy/dx.
Resolva as equações:
a)
a)
Use derivação implicita para obter dy/dx.