Use derivação implicita para obter dy/dx.
sen(x+y) = x y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar derivação implícita para encontrar na equação . Derivação implícita é útil quando está ligado a de forma que não dá pra isolar facilmente. Vamos precisar lembrar das regras de derivação, especialmente a da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então quando derivamos termos que envolvem , usamos a regra da cadeia.

Passo 3

Vamos começar diferenciando o lado esquerdo . Usamos a regra da cadeia aqui:
E derivando :
Então, o lado esquerdo fica:

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado direito . Aqui usamos a regra do produto, que diz que :
Sabendo que , fica:

Passo 5

Agora, juntamos as derivadas dos dois lados:
Nosso objetivo é isolar . Vamos distribuir o no lado esquerdo:

Passo 6

Vamos reunir os termos que têm de um lado e os demais do outro lado:
Fatorando no lado esquerdo:

Passo 7

Para isolar , dividimos ambos os lados pela :
Podemos simplificar multiplicando o numerador e denominador por :

Resposta

Então, a derivada é:

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Um terreno possui forma triangular, em que o lado maior mede 100 m, o maior ângulo entre os lados é 90 graus e um dos outros dois ângulos é metade do outro. Calcule o lado menor desse triângulo.
Use derivação implicita para obter dy/dx.
x = sen^2(y)
Resolva as equações:
a) cos x = 1
Use derivação implicita para obter dy/dx.
1 = -f_am(x - y)² - y = 0