Use derivação implicita para obter dy/dx.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivação implícita! A questão nos dá a equação
e pede para encontrarmos
. A matéria aqui é cálculo, especificamente derivadas de funções implícitas. Vamos precisar aplicar a regra da cadeia para diferenciar ambos os lados da equação em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivação implícita. Quando temos uma equação que relaciona
e
de forma que não está fácil isolar
, usamos derivação implícita para encontrar
. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como uma função de
.
Passo 3
Vamos começar diferenciando o lado esquerdo da equação
em relação a
. A derivada de
em relação a
é simplesmente 1:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar o lado direito da equação
em relação a
. Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
, que é
:
Passo 5
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados da equação original:
Passo 6
Para encontrar
, isolamos essa derivada dividindo ambos os lados da equação por
:
Passo 7
Podemos simplificar a expressão usando a identidade trigonométrica
:
Resposta
A derivada
é:
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