Use derivação implicita para obter dy/dx.
tg(x) y = x y

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para usar derivação implícita e encontrar na equação . Isso envolve cálculo diferencial, especificamente a técnica de derivação implícita, que usamos quando está misturado com na equação e não está isolado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivação implícita. Quando temos uma equação que relaciona e de forma que não está expressa diretamente em função de , usamos a derivação implícita para encontrar . Isso significa que vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a , tratando como uma função de .

Passo 3

Vamos começar diferenciando o lado esquerdo da equação . Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , então:
Agora, precisamos derivar em relação a . Usamos a regra do produto:
Portanto, a derivada do lado esquerdo fica:

Passo 4

Agora, vamos derivar o lado direito da equação , que também precisamos diferenciar em relação a . Usando novamente a regra do produto:

Passo 5

Agora, juntamos as duas derivadas na equação original:
Nosso objetivo é encontrar , então vamos isolar esse termo. Primeiro, distribuímos o :

Passo 6

Agora, vamos agrupar os termos que contêm de um lado e os demais do outro:
Fatoramos no lado esquerdo:

Passo 7

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados pela expressão que multiplica :
Podemos simplificar ainda mais:

Resposta

A derivada é igual a .

Exercícios relacionados

Resolva as equações:
cos(x - pi/2) = 0
Use derivação implicita para obter dy/dx.
1 = -f_am(x - y)² - y = 0
Resolva as equações:
2 cos(x) = 1, no intervalo 0 <= x < 2 pi
Use derivação implicita para obter dy/dx.
4 tg(y) = x^3