Use derivação implicita para obter dy/dx.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o exercício que pede para usar derivação implícita e encontrar
na equação
. Isso envolve cálculo diferencial, especificamente a técnica de derivação implícita, que usamos quando
está misturado com
na equação e não está isolado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivação implícita. Quando temos uma equação que relaciona
e
de forma que
não está expressa diretamente em função de
, usamos a derivação implícita para encontrar
. Isso significa que vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a
, tratando
como uma função de
.
Passo 3
Vamos começar diferenciando o lado esquerdo da equação
. Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
, então:
Agora, precisamos derivar
em relação a
. Usamos a regra do produto:
Portanto, a derivada do lado esquerdo fica:
Passo 4
Agora, vamos derivar o lado direito da equação
, que também precisamos diferenciar em relação a
. Usando novamente a regra do produto:
Passo 5
Agora, juntamos as duas derivadas na equação original:
Nosso objetivo é encontrar
, então vamos isolar esse termo. Primeiro, distribuímos o
:
Passo 6
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
de um lado e os demais do outro:
Fatoramos
no lado esquerdo:
Passo 7
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados pela expressão que multiplica
:
Podemos simplificar ainda mais:
Resposta
A derivada
é igual a
.
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Resolva as equações:
Use derivação implicita para obter dy/dx.
Resolva as equações:
, no intervalo
Use derivação implicita para obter dy/dx.