Use derivação implicita para obter dy/dx.
4 tg(y) = x^3

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma equação que relaciona e :
A matéria que vamos usar é a derivação implícita, que é útil quando não está isolado. Vamos precisar conhecer a derivada da tangente e a regra da cadeia para resolver esse exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar os dois lados da equação com relação a . Lembre-se que é uma função de , então quando derivamos termos com , precisamos usar a regra da cadeia.
Derivando o lado esquerdo:
Aqui, usamos a derivada de , que é , e multiplicamos pela derivada de em relação a , que é .

Passo 3

Derivando o lado direito:
Isso é direto, já que a derivada de é .

Passo 4

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:

Passo 5

Queremos isolar . Para isso, dividimos ambos os lados por :

Passo 6

Podemos simplificar um pouco mais usando a identidade , mas como o exercício pede apenas em termos de e , podemos deixar assim.

Resposta

A derivada é:

Exercícios relacionados

Resolva as equações:
2 cos(x) = 1, no intervalo 0 <= x < 2 pi
Use derivação implicita para obter dy/dx.
tg(x) y = x y
Reduza ao quadrante:
cos 100 graus
Use derivação implicita para obter dy/dx.
y / (raiz(x) - y) = 2 + x^2