Use derivação implicita para obter dy/dx.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma equação que relaciona
e
:
A matéria que vamos usar é a derivação implícita, que é útil quando
não está isolado. Vamos precisar conhecer a derivada da tangente e a regra da cadeia para resolver esse exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar os dois lados da equação com relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando derivamos termos com
, precisamos usar a regra da cadeia.
Derivando o lado esquerdo:
Aqui, usamos a derivada de
, que é
, e multiplicamos pela derivada de
em relação a
, que é
.
Passo 3
Derivando o lado direito:
Isso é direto, já que a derivada de
é
.
Passo 4
Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Passo 5
Queremos isolar
. Para isso, dividimos ambos os lados por
:
Passo 6
Podemos simplificar um pouco mais usando a identidade
, mas como o exercício pede apenas
em termos de
e
, podemos deixar assim.
Resposta
A derivada
é:
Exercícios relacionados
Resolva as equações:
, no intervalo
Use derivação implicita para obter dy/dx.
Reduza ao
quadrante:
Use derivação implicita para obter dy/dx.