Use derivação logarítmica para calcular:
.
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: temos a função
e precisamos calcular a sua derivada usando derivação logarítmica. O conteúdo que vamos trabalhar aqui é sobre derivadas, especificamente a técnica de derivação logarítmica. Para resolver isso, vamos precisar transformar a função em uma forma que facilite a derivação, utilizando logaritmos.
Passo 2
Primeiro, aplicamos o logaritmo natural a ambos os lados da equação. Assim, temos:
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, podemos simplificar a parte da raiz:
Essencialmente, estamos dizendo que o logaritmo de
é igual à metade do logaritmo de
. Agora vamos expandir o logaritmo do produto usando a propriedade
:
Passo 3
Agora que temos essa forma, o próximo passo é derivar ambos os lados em relação a
. Usamos a regra da cadeia na esquerda, que nos dá:
Aqui,
é a notação que usamos para a derivada de
em relação a
. Agora, vamos simplificar a parte direita:
Passo 4
Agora, para encontrar a derivada
, precisamos multiplicar ambos os lados por
:
Lembre-se que
, então substituímos:
Finalmente, podemos reescrever isso:
Resposta
A derivada da função
é dada por:
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Use a derivação logarítmica para determinar
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Use derivação logarítmica para calcular:
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Calcule
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