Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Passo 1
Vamos ver o que o enunciado está pedindo. Nós temos a função
e queremos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. O conteúdo que estamos usando aqui é a derivação logarítmica, que é uma técnica super útil quando temos funções que envolvem potências que variam com
. Para resolver, precisaremos aplicar o logaritmo natural para simplificar a derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que
, podemos reescrever a expressão:
Legal, agora temos uma expressão que é mais fácil de derivar!
Passo 3
Agora precisamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Começando pela esquerda, usamos a regra da cadeia:
Agora, para a direita, precisamos usar a regra do produto, já que temos duas funções multiplicando:
e
.
A derivada é dada por:
Agora, derivando cada parte:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Substituindo essas derivadas, temos:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
(que é a nossa função original
):
Substituindo a expressão de
de volta, lembrando que
, temos:
Resposta
Portanto, a derivada
é:
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Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Use a regra da cadeia para achar
.
.
Use derivação logarítmica para calcular:
.
Use derivação logarítmica para calcular:
.