Use a derivação logarítmica para determinar :
.

Passo 1

Vamos ver o que o enunciado está pedindo. Nós temos a função e queremos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . O conteúdo que estamos usando aqui é a derivação logarítmica, que é uma técnica super útil quando temos funções que envolvem potências que variam com . Para resolver, precisaremos aplicar o logaritmo natural para simplificar a derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que , podemos reescrever a expressão:
Legal, agora temos uma expressão que é mais fácil de derivar!

Passo 3

Agora precisamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Começando pela esquerda, usamos a regra da cadeia:
Agora, para a direita, precisamos usar a regra do produto, já que temos duas funções multiplicando: e .
A derivada é dada por:
Agora, derivando cada parte:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Substituindo essas derivadas, temos:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar ambos os lados da equação por (que é a nossa função original ):
Substituindo a expressão de de volta, lembrando que , temos:

Resposta

Portanto, a derivada é:

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Use a derivação logarítmica para determinar :
.
Use a regra da cadeia para achar .
.
Use derivação logarítmica para calcular:
.
Use derivação logarítmica para calcular:
.