Use a derivação logarítmica para determinar :
.

Passo 1

Vamos resumir o que temos na questão: precisamos encontrar a derivada de em relação a , usando a derivação logarítmica. O conteúdo que estamos abordando aqui é cálculo diferencial, especificamente sobre como usar logaritmos para simplificar a derivação de funções que têm potências. Para resolver, vamos precisar da regra do logaritmo, que diz que .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Isso nos ajuda a simplificar a função, já que a derivada de um logaritmo é mais fácil de calcular. Então fazemos assim:
Usando a propriedade do logaritmo mencionada, podemos simplificar:

Passo 3

Agora, precisamos derivar ambos os lados em relação a . Quando derivamos o lado esquerdo, precisamos usar a regra da cadeia, que diz que se , então . Assim, temos:
Do lado direito, temos que derivar . A derivada de é . Então, vamos precisar da derivada de , que é . Logo, ficamos com:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora juntamos tudo. Temos, até aqui, que:
Para encontrar , basta multiplicar ambos os lados por :
Lembrando que , podemos substituir:

Resposta

Assim, temos a derivada final:

Exercícios relacionados

Use a regra da cadeia para achar .
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Use a derivação logarítmica para determinar :
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Use a derivação logarítmica para determinar :
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Use derivação logarítmica para calcular:
.