Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Passo 1
Vamos resumir o que temos na questão: precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, usando a derivação logarítmica. O conteúdo que estamos abordando aqui é cálculo diferencial, especificamente sobre como usar logaritmos para simplificar a derivação de funções que têm potências. Para resolver, vamos precisar da regra do logaritmo, que diz que
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Isso nos ajuda a simplificar a função, já que a derivada de um logaritmo é mais fácil de calcular. Então fazemos assim:
Usando a propriedade do logaritmo mencionada, podemos simplificar:
Passo 3
Agora, precisamos derivar ambos os lados em relação a
. Quando derivamos o lado esquerdo, precisamos usar a regra da cadeia, que diz que se
, então
. Assim, temos:
Do lado direito, temos que derivar
. A derivada de
é
. Então, vamos precisar da derivada de
, que é
. Logo, ficamos com:
Isso simplifica para:
Passo 4
Agora juntamos tudo. Temos, até aqui, que:
Para encontrar
, basta multiplicar ambos os lados por
:
Lembrando que
, podemos substituir:
Resposta
Assim, temos a derivada final:
Exercícios relacionados
Use a regra da cadeia para achar
.
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Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Use derivação logarítmica para calcular:
.