Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Passo 1
Vamos resolver a derivada da função
utilizando a derivação logarítmica. A derivação logarítmica é uma técnica útil quando temos variáveis elevadas a outras variáveis, como no nosso caso, onde
é igual a uma expressão elevada a
. Para resolver, a gente vai precisar da regra da cadeia e da propriedade dos logaritmos, que diz que
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Assim, temos:
Utilizando a propriedade que mencionamos, podemos transformar o lado direito:
Passo 3
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a
. Aqui, vamos usar a regra da cadeia para a esquerda e a regra do produto à direita. Lembre-se que quando derivamos
em relação a
, precisamos multiplicar pela derivada de
em relação a
(que chamamos de
). Então, temos:
Agora, vamos derivar o lado direito usando a regra do produto:
Para a derivada de
, usamos a regra da cadeia:
A derivada de
é simplesmente
(derivada da função seno). Portanto, temos:
Substituindo isso na nossa derivada do lado direito:
Passo 4
Agora, colocando tudo junto:
Multiplicamos ambos os lados por
para isolar
:
Passo 5
Agora, substituímos
de volta na expressão, que era
:
Resposta
A derivada
é:
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Calcule
2)
2)
Use derivação logarítmica para calcular:
.
Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funções no ponto indicado:
, em
.
Derive.
.