Use a derivação logarítmica para determinar :
.

Passo 1

Vamos resolver a derivada da função utilizando a derivação logarítmica. A derivação logarítmica é uma técnica útil quando temos variáveis elevadas a outras variáveis, como no nosso caso, onde é igual a uma expressão elevada a . Para resolver, a gente vai precisar da regra da cadeia e da propriedade dos logaritmos, que diz que .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Assim, temos:
Utilizando a propriedade que mencionamos, podemos transformar o lado direito:

Passo 3

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Aqui, vamos usar a regra da cadeia para a esquerda e a regra do produto à direita. Lembre-se que quando derivamos em relação a , precisamos multiplicar pela derivada de em relação a (que chamamos de ). Então, temos:
Agora, vamos derivar o lado direito usando a regra do produto:
Para a derivada de , usamos a regra da cadeia:
A derivada de é simplesmente (derivada da função seno). Portanto, temos:
Substituindo isso na nossa derivada do lado direito:

Passo 4

Agora, colocando tudo junto:
Multiplicamos ambos os lados por para isolar :

Passo 5

Agora, substituímos de volta na expressão, que era :

Resposta

A derivada é:

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Calcule
2)
Use derivação logarítmica para calcular:
.
Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funções no ponto indicado:
, em .
Derive.
.