Use a definição de derivada pra calcular a derivada de cada uma das funções no ponto indicado:
, em
.
Passo 1
Vamos começar resumindo o enunciado. Nós precisamos calcular a derivada da função
no ponto
. O conteúdo que estamos usando aqui é o de derivadas, que é uma parte fundamental do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar da definição de derivada, que é dada pela fórmula:
Essa fórmula basicamente nos dá a taxa de variação da função em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na função
para acharmos
:
Agora, precisamos calcular
, onde vamos substituir
por
na função
:
Vamos simplificar essa expressão:
- Calculando
, temos . - Agora, calculamos
, que é . - Portanto, a expressão se torna:
Passo 3
Agora que temos
e
, vamos usar a definição da derivada que a gente mencionou no passo 1:
Agora, precisamos simplificar essa fração. Primeiro, vamos colocar
em uma fração com o mesmo denominador que
:
Assim, podemos juntar as frações:
Simplificando, ficamos com:
Agora, é uma boa ideia substituir
na expressão que sobrou, mas isso leva a uma indeterminação. Assim, precisamos encontrar raízes do numerador. Vamos fatorar a parte
:
Agora vamos substituir isso na fórmula da derivada, o que nos dará uma forma que podemos cancelar com o denominador:
Resposta
A derivada de
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Use a derivação logarítmica para determinar
:
.
Calcule
2)
2)
Derive.
.