Seja
uma função diferenciável até a segunda ordem e seja
dada por
. Verifique que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que é diferenciável até a segunda ordem. Isso significa que a gente pode calcular sua primeira e segunda derivadas sem problemas. A função
é definida por
. Nosso objetivo aqui é verificar que a segunda derivada de
, ou seja,
, é igual a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que pra derivar uma função composta como
, a gente precisa usar a Regra da Cadeia. Essa regra diz que a derivada da função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Então, vamos começar calculando a primeira derivada de
.
Passo 3
Calculando a primeira derivada de
:
Aplicando a Regra da Cadeia:
Sabemos que a derivada de
em relação a
é
, então:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a segunda derivada de
, ou seja,
. Para isso, vamos derivar
novamente em relação a
.
Temos:
Vamos derivar cada parte usando a Regra do Produto, já que
é o produto de
e
.
Aplicando a Regra do Produto:
Calculando cada termo:
-
-
Para
, aplicamos novamente a Regra da Cadeia:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Fatorando
:
Resposta
Então, verificamos que:
Exercícios relacionados
Usando todas as regras de derivação, derive as seguintes funçõs:
Calcule a integral iterada.
Determine a derivada em cada caso:
Use a derivação logarítmica para determinar
:
.