Seja uma função diferenciável até a segunda ordem e seja dada por . Verifique que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que é diferenciável até a segunda ordem. Isso significa que a gente pode calcular sua primeira e segunda derivadas sem problemas. A função é definida por . Nosso objetivo aqui é verificar que a segunda derivada de , ou seja, , é igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que pra derivar uma função composta como , a gente precisa usar a Regra da Cadeia. Essa regra diz que a derivada da função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna.
Então, vamos começar calculando a primeira derivada de .

Passo 3

Calculando a primeira derivada de :
Aplicando a Regra da Cadeia:
Sabemos que a derivada de em relação a é , então:

Passo 4

Agora, queremos encontrar a segunda derivada de , ou seja, . Para isso, vamos derivar novamente em relação a .
Temos:
Vamos derivar cada parte usando a Regra do Produto, já que é o produto de e .
Aplicando a Regra do Produto:
Calculando cada termo:
  1. Para , aplicamos novamente a Regra da Cadeia:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Fatorando :

Resposta

Então, verificamos que:

Exercícios relacionados

Usando todas as regras de derivação, derive as seguintes funçõs:
Calcule a integral iterada.
Determine a derivada em cada caso:
Use a derivação logarítmica para determinar :
.