Use a regra da cadeia para achar .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar usando a regra da cadeia. Temos que , onde e . Então, vamos precisar usar a regra da cadeia da derivada e as propriedades das funções trigonométricas inversas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar que a regra da cadeia serve para derivar funções compostas. No nosso caso, depende de e , que por sua vez dependem de . Então, a derivada de em relação a será a soma das derivadas parciais de em relação a e , multiplicadas pelas derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e em relação a :
  • então .
  • então .

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Sabemos que:
A derivada de em relação a é . Então, aplicando a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, juntando tudo usando a regra da cadeia:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 6

Agora, vamos substituir e pelas expressões dadas:
Substituindo na expressão de :

Passo 7

Vamos simplificar o denominador :
Mas para facilitar, vamos manter a expressão como está e simplificar o numerador:
Simplificando o numerador:
Então:

Resposta

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Calcule os pontos críticos de , onde .
Use a derivação logarítmica para determinar a derivada de com relação a :
Use a regra da cadeia para achar .
Use a derivação implícita para determinar :