Use a regra da cadeia para achar
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar
usando a regra da cadeia. Temos que
, onde
e
. Então, vamos precisar usar a regra da cadeia da derivada e as propriedades das funções trigonométricas inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que a regra da cadeia serve para derivar funções compostas. No nosso caso,
depende de
e
, que por sua vez dependem de
. Então, a derivada de
em relação a
será a soma das derivadas parciais de
em relação a
e
, multiplicadas pelas derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
em relação a
:
-
então . -
então .
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Sabemos que:
A derivada de
em relação a
é
. Então, aplicando a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, juntando tudo usando a regra da cadeia:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Passo 6
Agora, vamos substituir
e
pelas expressões dadas:
Substituindo na expressão de
:
Passo 7
Vamos simplificar o denominador
:
Mas para facilitar, vamos manter a expressão como está e simplificar o numerador:
Simplificando o numerador:
Então:
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule os pontos críticos de
, onde
.
Use a derivação logarítmica para determinar a derivada de
com relação a
:
Use a regra da cadeia para achar
.
Use a derivação implícita para determinar
: