Use a derivação logarítmica para determinar
y = (4 + sen(3x))^x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar a derivação logarítmica para encontrar a derivada de . Então, estamos trabalhando com derivadas e funções que têm variáveis no expoente e na base. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas regras de derivação e a técnica da derivação logarítmica.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para facilitar a derivação. Isso nos ajuda porque transforma a exponenciação em multiplicação, o que é mais fácil de diferenciar.

Passo 3

Usando a propriedade dos logaritmos que diz que , podemos simplificar o lado direito da equação:

Passo 4

Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a . Lembre-se de que é uma função de , então usaremos a regra da cadeia no lado esquerdo:

Passo 5

Derivando o lado esquerdo usando a regra da cadeia, temos:
No lado direito, usaremos a regra do produto para derivar :
Simplificando:

Passo 6

Agora, igualamos as duas partes:
Para encontrar , multiplicamos ambos os lados por :

Passo 7

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A derivada de é:

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Use a derivação logarítmica para determinar
f(x) = (cos(x))^(e^x)
Dada a funçato f(x) = x^4 - 2*x^2 + 3, determine:
Os pontos criticos e classifique-os em maximos e minimos.
Use a derivação logarítmica para determinar
f(x) = (sen(x))^(cos(x))
f(x) = x^2 * arctg(4 * x)