Uma caixa com formato de paralelepípedo retângulo sem tampa será confeccionada em alumínio e deve ter volume de
. Quais as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de alumínio usado na confecção da caixa?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que construir uma caixa sem tampa, no formato de um paralelepípedo retângulo, feita de alumínio, com um volume de
. O objetivo é encontrar as dimensões dessa caixa que usam a menor quantidade de alumínio possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização, que envolvem cálculo diferencial para minimizar a área da superfície da caixa.
Passo 2
Vamos chamar as dimensões da caixa de
(comprimento),
(largura) e
(altura). Sabemos que o volume
da caixa é dado por:
Como queremos minimizar a quantidade de alumínio usado, precisamos minimizar a área da superfície da caixa. Como a caixa não tem tampa, a área
será:
Aqui,
é a área da base, e
e
são as áreas das laterais.
Passo 3
Nosso objetivo é minimizar
com a restrição de que o volume
seja 4000
. Para facilitar, vamos expressar uma das variáveis em função das outras usando a equação do volume. Vamos isolar
:
Agora, substituímos
na função da área:
Passo 4
Agora temos a função da área em termos de
e
:
Para encontrar os valores de
e
que minimizam
, usamos cálculo diferencial. Precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
Primeiro, derivamos em relação a
:
Depois, derivamos em relação a
:
Passo 5
Resolvendo a primeira equação para
:
E a segunda equação para
:
Substituindo
da primeira equação na segunda:
Multiplicando ambos os lados por 8000:
Desconsideramos
(não faz sentido físico) e temos:
Passo 6
Agora que encontramos
, substituímos na equação de
:
Por fim, encontramos
usando a equação do volume:
Resposta
As dimensões da caixa que minimizam a quantidade de alumínio usado são:
Exercícios relacionados
Suponha que a produção de uma empresa, dependente de dois insumos
e
, cujas quantidades são, respectivamente,
e
, seja modelada pela equação
A.
e que os seus custos sejam dados por
, onde
e
são constantes.
Considerando que a produção seja fixa, isto é, , em que
é uma constante, calcule os valores de
e de
que minimizam os custos da empresa.
Considerando que a produção seja fixa, isto é,
Determinar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor que faz um ângulo de
com a parte positiva do eixo
.
Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela das funções.
Use a diferenciarado implícito pora determinar
e
b)
b)