Use a Equação de análise da transformada de Fourier para calcular as transformadas de Fourier de:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular a transformada de Fourier da derivada de uma soma de duas funções degrau de Heaviside:
. Aqui, estamos trabalhando com Transformada de Fourier, uma ferramenta da análise de sinais que transforma funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar usar a propriedade da transformada de Fourier para derivadas e conhecer a transformada do degrau de Heaviside.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que temos:
. As funções
e
são funções degrau que “ligam” em
e
, respectivamente. A soma dessas duas funções cria uma espécie de “janela” que está ativa entre
e
.
Passo 3
Agora, queremos a derivada dessa soma:
. Sabemos que a derivada do degrau de Heaviside
é a função delta de Dirac
. Então, aplicando isso:
Passo 4
Agora, vamos calcular a transformada de Fourier dessa derivada. A transformada de Fourier da função delta
é dada por
. Então, aplicando isso às duas delta functions que temos:
Passo 5
Podemos simplificar essa expressão usando a identidade de Euler para funções seno:
Resposta
A transformada de Fourier de
é
.
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Use a Equação de síntese da transformada de Fourier para determinar as transformadas inversas de Fourier de:
Dado que
tem a transformada de Fourier
, expresse as transformadas de Fourier dos sinais listados a seguir em termos de
. Se precisar, use as propriedades da transformada de Fourier listadas na Tabela
Dado que
tem a transformada de Fourier
, expresse as transformadas de Fourier dos sinais listados a seguir em termos de
. Se precisar, use as propriedades da transformada de Fourier listadas na Tabela