Use a Equação de análise da transformada de Fourier para calcular as transformadas de Fourier de:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular a transformada de Fourier da derivada de uma soma de duas funções degrau de Heaviside: . Aqui, estamos trabalhando com Transformada de Fourier, uma ferramenta da análise de sinais que transforma funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar usar a propriedade da transformada de Fourier para derivadas e conhecer a transformada do degrau de Heaviside.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos: . As funções e são funções degrau que “ligam” em e , respectivamente. A soma dessas duas funções cria uma espécie de “janela” que está ativa entre e .

Passo 3

Agora, queremos a derivada dessa soma: . Sabemos que a derivada do degrau de Heaviside é a função delta de Dirac . Então, aplicando isso:

Passo 4

Agora, vamos calcular a transformada de Fourier dessa derivada. A transformada de Fourier da função delta é dada por . Então, aplicando isso às duas delta functions que temos:

Passo 5

Podemos simplificar essa expressão usando a identidade de Euler para funções seno:

Resposta

A transformada de Fourier de é .

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Use a Equação de síntese da transformada de Fourier para determinar as transformadas inversas de Fourier de:
Dado que tem a transformada de Fourier , expresse as transformadas de Fourier dos sinais listados a seguir em termos de . Se precisar, use as propriedades da transformada de Fourier listadas na Tabela
Dado que tem a transformada de Fourier , expresse as transformadas de Fourier dos sinais listados a seguir em termos de . Se precisar, use as propriedades da transformada de Fourier listadas na Tabela