Use a Equação de análise da transformada de Fourier para calcular as transformadas de Fourier de: dd tu(-2-t)+u(t-2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente calcular a transformada de Fourier da derivada de uma soma de duas funções degrau de Heaviside: u(-2-t) + u(t-2). Aqui, estamos trabalhando com Transformada de Fourier, uma ferramenta da análise de sinais que transforma funções do tempo para o domínio da frequência. Para resolver isso, vamos precisar usar a propriedade da transformada de Fourier para derivadas e conhecer a transformada do degrau de Heaviside.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos: u(-2-t) + u(t-2). As funções u(-2-t) e u(t-2) são funções degrau que “ligam” em t = -2 e t = 2, respectivamente. A soma dessas duas funções cria uma espécie de “janela” que está ativa entre t = -2 e t = 2.

Passo 3

Agora, queremos a derivada dessa soma: ddtu(-2-t) + u(t-2). Sabemos que a derivada do degrau de Heaviside u(t-a) é a função delta de Dirac de. Então, aplicando isso:
ddtu(-2-t) + u(t-2) = ddtu(-2-t) + ddtu(t-2) = -de

Passo 4

Agora, vamos calcular a transformada de Fourier dessa derivada. A transformada de Fourier da função delta de é dada por e^-jomega a. Então, aplicando isso às duas delta functions que temos:
F-de

Passo 5

Podemos simplificar essa expressão usando a identidade de Euler para funções seno:
-e^j2omega + e^-j2omega = -2j sin(2omega)

Resposta

A transformada de Fourier de ddtu(-2-t) + u(t-2) é -2j sin(2omega).

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