Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral definida que precisa ser calculada usando a definição da integral apresentada no Teorema 4. A integral que vamos resolver é:
Isso faz parte do estudo de Cálculo, especificamente de integrais. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar antiderivadas e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma integral definida. Basicamente, calcular uma integral definida
significa encontrar a área líquida sob a curva da função
entre os limites
e
. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, isso pode ser feito encontrando uma antiderivada de
e depois avaliando nos pontos
e
.
Passo 3
Vamos identificar
na nossa integral:
Agora, precisamos encontrar uma antiderivada de
, ou seja, uma função
tal que
.
Passo 4
Vamos calcular a antiderivada de cada termo separadamente:
- A antiderivada de
é porque ao derivar , aplicamos a regra do expoente e obtemos . - A antiderivada de
é pelo mesmo motivo. - A antiderivada de
é , já que a derivada de é .
Então, juntando tudo:
Como estamos calculando uma integral definida, o constante
se cancela, então podemos ignorá-lo.
Passo 5
Agora, segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos
nos limites de integração e subtraímos:
Vamos calcular
e
.
Passo 6
Calculando
:
Calculando
:
Vamos resolver cada termo:
Somando tudo:
Passo 7
Finalmente, substituímos na expressão
:
Resposta
O valor da integral é
.
Exercícios relacionados
Considere um tanque que desloca-se horizontalmente com velocidade
módulo. O mesmo possui um canhão cuja inclinação é de
com a horizontal e a saida do canhão está a uma altura de 5 m em relação ao solo. Um carro desloca-se na mesma linha de movimento do taque, mas com velocidade de
e no sentido oposto. Em um dado instante de tempo, a distância entre o tanque e o carro é de 2000 m . Considere que o canhão dispara nesse momento.
(j) Qual a velocidade da bala em relação ao carro, no instante mais alto de sua trajetória?
(j) Qual a velocidade da bala em relação ao carro, no instante mais alto de sua trajetória?
A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por
.
(a) Construa o gráfico da aceleração como função do tempo.
(a) Construa o gráfico da aceleração como função do tempo.
Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.