Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de
usando a definição da integral segundo o Teorema 4. Isso envolve entender o que é uma integral definida, que basicamente calcula a área sob a curva da função
entre os pontos -2 e 7 no eixo x. Para resolver isso, vamos precisar dividir o intervalo em pedaços menores, somar as áreas desses pedaços e depois ver o que acontece quando esses pedaços ficam infinitamente pequenos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a definição da integral pelo Teorema 4. Ele basicamente diz que a integral definida pode ser calculada como o limite de uma soma de áreas de retângulos quando o número de retângulos aumenta para o infinito e a largura de cada retângulo tende a zero. Essa soma é chamada de soma de Riemann.
Passo 3
Vamos dividir o intervalo de integração, que vai de -2 a 7, em
subintervalos iguais. O tamanho de cada subintervalo, ou a largura de cada retângulo, será
.
Passo 4
Agora, vamos escolher pontos em cada subintervalo para avaliar a função
. Vamos usar o ponto direito de cada subintervalo, que é
, onde
varia de 1 a
.
Passo 5
A soma de Riemann fica então:
Vamos simplificar a expressão dentro da soma:
Então:
Passo 6
Vamos separar a soma:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Resposta
A integral
é igual a 9.
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A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por
.
(a) Construa o gráfico da aceleração como função do tempo.
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Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.
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(d) Qual o sentido do movimento da partícula quando ?
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Use a forma da definição da integral dada no Teorema 4 para calcular a integral.