Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
(a) integral ln x d x

Passo 1

Vamos calcular a integral de ln x em relação a x, ou seja, integral ln x , dx. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. Vamos precisar entender qual parte da função escolher como u e qual parte como dv para facilitar a integração.

Passo 2

A fórmula de integração por partes é dada por:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher quais partes da nossa integral correspondem a u e dv.

Passo 3

Escolhemos:
  • u = ln x (pois sua derivada fica mais simples)
  • dv = dx (a parte que sobra)
Agora, vamos calcular du e v:
  • du = 1x , dx (derivada de ln x)
  • v = integral dv = integral dx = x

Passo 4

Substituindo na fórmula de integração por partes:
integral ln x , dx = uv - integral v , du = x ln x - integral x cdot 1x , dx
Simplificando a integral restante:
integral x cdot 1x , dx = integral 1 , dx = x

Passo 5

Então, substituindo de volta na expressão:
integral ln x , dx = x ln x - x + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

integral ln x , dx = x, ln x - x + C

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