Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
(m) integral cos ^2(ln x) d x;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral . Isso envolve cálculo integral e trigonometria. Para resolver, vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar e depois aplicar técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica útil:
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2
Aplicando isso ao nosso caso, onde cos^2(ln x) = 1 + cos(2ln x)2 , temos:

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral cos^2(ln x) , dx = integral 1 + cos(2ln x)2 , dx = 12 integral 1 , dx + 12 integral cos(2ln x) , dx
Isso simplifica a integral em duas partes mais fáceis de resolver.

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral:
12 integral 1 , dx = 12 x
Fácil, né? Agora, vamos para a parte mais complicada.

Passo 5

Focando na segunda integral:
12 integral cos(2ln x) , dx
Para resolver isso, vamos usar uma substituição. Seja:
t = ln x Rightarrow dt = 1x dx Rightarrow dx = x , dt = e^t , dt
Substituindo na integral:
12 integral cos(2t) cdot e^t , dt

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral:
integral e^t cos(2t) , dt
Aqui, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil para integrar o produto de duas funções.

Passo 7

Aplicando integração por partes:
u = e^t Rightarrow du = e^t , dt
dv = cos(2t) , dt Rightarrow v = 12 sin(2t)
A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Então:
integral e^t cos(2t) , dt = e^t cdot 12 sin(2t) - 12 integral e^t sin(2t) , dt

Passo 8

Agora, temos uma nova integral:
integral e^t sin(2t) , dt
Vamos aplicar integração por partes novamente:
u = e^t Rightarrow du = e^t , dt
dv = sin(2t) , dt Rightarrow v = -12 cos(2t)
Aplicando a fórmula:
integral e^t sin(2t) , dt = -12 e^t cos(2t) + 12 integral e^t cos(2t) , dt

Passo 9

Voltando à expressão anterior:
integral e^t cos(2t) , dt = 12 e^t sin(2t) - 12 ( -12 e^t cos(2t) + 12 integral e^t cos(2t) , dt )
Simplificando:
integral e^t cos(2t) , dt = 12 e^t sin(2t) + 14 e^t cos(2t) - 14 integral e^t cos(2t) , dt

Passo 10

Chamando I = 12 e^t sin(2t) + 14 e^t cos(2t) - 14 I , temos:
54 I = 12 e^t sin(2t) + 14 e^t cos(2t)
Resolvendo para I = 25 e^t sin(2t) + 15 e^t cos(2t) + C :

Passo 11

Voltando para a variável original, lembrando que I = 25 e^ln x sin(2 ln x) + 15 e^ln x cos(2 ln x) + C = 25 x sin(2 ln x) + 15 x cos(2 ln x) + C :

Passo 12

Agora, juntando tudo:
integral cos^2(ln x) , dx = 12 x + 12 ( 25 x sin(2 ln x) + 15 x cos(2 ln x) ) + C
Simplificando:
integral cos^2(ln x) , dx = 12 x + 15 x sin(2 ln x) + 110 x cos(2 ln x) + C

Resposta

A integral 12 x + 15 x sin(2 ln x) + 110 x cos(2 ln x) + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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