Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
(m) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral . Isso envolve cálculo integral e trigonometria. Para resolver, vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar e depois aplicar técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica útil:
Aplicando isso ao nosso caso, onde , temos:

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
Isso simplifica a integral em duas partes mais fáceis de resolver.

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral:
Fácil, né? Agora, vamos para a parte mais complicada.

Passo 5

Focando na segunda integral:
Para resolver isso, vamos usar uma substituição. Seja:
Substituindo na integral:

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral:
Aqui, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil para integrar o produto de duas funções.

Passo 7

Aplicando integração por partes:
A fórmula é:
Então:

Passo 8

Agora, temos uma nova integral:
Vamos aplicar integração por partes novamente:
Aplicando a fórmula:

Passo 9

Voltando à expressão anterior:
Simplificando:

Passo 10

Chamando , temos:
Resolvendo para :

Passo 11

Voltando para a variável original, lembrando que :

Passo 12

Agora, juntando tudo:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
®
Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
(a)
Calcular as integrais usando as substituições indicadas:
Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
(j) ;