Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
(m)
;
(m)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral
. Isso envolve cálculo integral e trigonometria. Para resolver, vamos usar uma identidade trigonométrica para simplificar
e depois aplicar técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica útil:
Aplicando isso ao nosso caso, onde
, temos:
Passo 3
Agora, substituímos essa expressão na integral original:
Isso simplifica a integral em duas partes mais fáceis de resolver.
Passo 4
Vamos resolver a primeira integral:
Fácil, né? Agora, vamos para a parte mais complicada.
Passo 5
Focando na segunda integral:
Para resolver isso, vamos usar uma substituição. Seja:
Substituindo na integral:
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral:
Aqui, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil para integrar o produto de duas funções.
Passo 7
Aplicando integração por partes:
A fórmula é:
Então:
Passo 8
Agora, temos uma nova integral:
Vamos aplicar integração por partes novamente:
Aplicando a fórmula:
Passo 9
Voltando à expressão anterior:
Simplificando:
Passo 10
Chamando
, temos:
Resolvendo para
:
Passo 11
Voltando para a variável original, lembrando que
:
Passo 12
Agora, juntando tudo:
Simplificando:
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
®
®
Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
(a)
(a)
Calcular as integrais usando as substituições indicadas:
Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
(j) ;
(j)