Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
(e) integral ln (2 x) d xx ln (4 x);

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo integral, mais especificamente integrais que requerem substituição para serem resolvidas. Para resolver, vamos precisar entender como fazer mudanças de variável (substituição) e manipular logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o integrando. Vamos lembrar que ln(2x) = ln 2 + ln x . Então, podemos reescrever ln(4x) = ln 4 + ln x e integral ln 2 + ln xx (ln 4 + ln x) , dx :
Substituindo essas expressões na integral:

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar u = ln x implies dudx = 1x implies du = 1x dx . Assim, precisamos calcular :
Isso significa que , mas como já temos um na derivada, podemos substituir diretamente na integral.

Passo 4

Substituindo integral ln 2 + ux (ln 4 + u) , dx na integral, temos:
integral ln 2 + uln 4 + u , du
Sabendo que , rearranjamos para . Porém, observamos que o no denominador e o cancelam, simplificando a expressão:

Passo 5

Agora, temos uma integral mais simples:
integral ln 2 + uln 4 + u , du
Podemos dividir o numerador pelo denominador:
ln 2 + uln 4 + u = 1 + ln 2 - ln 4ln 4 + u
Isso porque .

Passo 6

Com essa divisão, a integral fica:
integral (1 + ln 2 - ln 4ln 4 + u) , du = integral 1 , du + (ln 2 - ln 4) integral 1ln 4 + u , du
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 7

Primeiro, u + (ln 2 - ln 4) ln |ln 4 + u| + C , onde é a constante de integração.
Segundo, .
Então, juntando tudo:

Passo 8

Agora, lembrando que fizemos a substituição ln x + (ln 2 - ln 4) ln |ln 4 + ln x| + C , vamos voltar para a variável original:
ln 2 - ln 4 = ln (24) = ln (12) = -ln 2
Simplificando :

Passo 9

Substituindo de volta:
ln x - ln 2 cdot ln |ln 4 + ln x| + C
Podemos também combinar os logaritmos:
ln x - ln 2 cdot ln |ln (4x)| + C

Resposta

A integral resulta em:
ln x - ln 2 cdot ln |ln (4x)| + C

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