Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
(e) ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo integral, mais especificamente integrais que requerem substituição para serem resolvidas. Para resolver, vamos precisar entender como fazer mudanças de variável (substituição) e manipular logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o integrando. Vamos lembrar que . Então, podemos reescrever e :
Substituindo essas expressões na integral:

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar . Assim, precisamos calcular :
Isso significa que , mas como já temos um na derivada, podemos substituir diretamente na integral.

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
Sabendo que , rearranjamos para . Porém, observamos que o no denominador e o cancelam, simplificando a expressão:

Passo 5

Agora, temos uma integral mais simples:
Podemos dividir o numerador pelo denominador:
Isso porque .

Passo 6

Com essa divisão, a integral fica:
Vamos calcular cada parte separadamente.

Passo 7

Primeiro, , onde é a constante de integração.
Segundo, .
Então, juntando tudo:

Passo 8

Agora, lembrando que fizemos a substituição , vamos voltar para a variável original:
Simplificando :

Passo 9

Substituindo de volta:
Podemos também combinar os logaritmos:

Resposta

A integral resulta em:

Exercícios relacionados

Use a substituição indicada para calcular as integrais abaixo.
(b)
Fazer o passo a passo para construção de gráfico da seguinte função:
Use a substituição dada para transformar as integrais abaixo:
Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
(a)