Use uma substituição mais adequada para calcular as integrais abaixo:
(e)
;
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve cálculo integral, mais especificamente integrais que requerem substituição para serem resolvidas. Para resolver, vamos precisar entender como fazer mudanças de variável (substituição) e manipular logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o integrando. Vamos lembrar que
. Então, podemos reescrever
e
:
Substituindo essas expressões na integral:
Passo 3
Agora, para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar
. Assim, precisamos calcular
:
Isso significa que
, mas como já temos um
na derivada, podemos substituir diretamente na integral.
Passo 4
Substituindo
na integral, temos:
Sabendo que
, rearranjamos para
. Porém, observamos que o
no denominador e o
cancelam, simplificando a expressão:
Passo 5
Agora, temos uma integral mais simples:
Podemos dividir o numerador pelo denominador:
Isso porque
.
Passo 6
Com essa divisão, a integral fica:
Vamos calcular cada parte separadamente.
Passo 7
Primeiro,
, onde
é a constante de integração.
Segundo,
.
Então, juntando tudo:
Passo 8
Agora, lembrando que fizemos a substituição
, vamos voltar para a variável original:
Simplificando
:
Passo 9
Substituindo de volta:
Podemos também combinar os logaritmos:
Resposta
A integral resulta em:
Exercícios relacionados
Use a substituição indicada para calcular as integrais abaixo.
(b)
(b)
Fazer o passo a passo para construção de gráfico da seguinte função:
Use a substituição dada para transformar as integrais abaixo:
Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
(a)
(a)