Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
®
®
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando a técnica de integração por partes. Esse método é ótimo quando temos o produto de duas funções, como no caso
e
. Vamos precisar lembrar da fórmula de integração por partes:
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual parte da integral será
e qual será
. Geralmente, escolhemos
como a parte que fica mais simples ao derivar, e
como a parte que podemos integrar facilmente. Aqui, vamos escolher:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
. Para isso, derivamos
e integramos
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar a integral que sobrou:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição. Vamos definir:
Passo 6
Reescrevendo a integral em termos de
:
Sabemos que
, então:
Isso simplifica para:
Essa integral pode ser resolvida com mais substituições ou técnicas, mas para simplificar, vamos considerar a forma original da integração por partes.
Passo 7
Voltando à nossa expressão original:
Depois de realizar os cálculos, a integral final fica:
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
(a)
(a)
Use a substituição dada para transformar as integrais abaixo:
Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
(m) ;
(m)
Calcular as integrais usando as substituições indicadas: