Use o grau de confiança e os dados amostrais indicados para achar o intervalo de confiança para o desvio-padrão populacional sigma. Em cada caso, admita que a população tenha distribuição normal. alturas de mulheres: 95 % de confiança; n=10 ; média =63,4 in.; S=2,4 in.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício onde precisamos encontrar o intervalo de confiança para o desvio-padrão populacional ( sigma) das alturas das mulheres. Os dados que temos são:
  • Nível de confiança: 95%
  • Tamanho da amostra ( n): 10
  • Média da amostra: 63,4 polegadas
  • Desvio-padrão da amostra ( S): 2,4 polegadas
Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição qui-quadrado, que nos ajuda a construir intervalos de confiança para o desvio-padrão quando a população segue uma distribuição normal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o intervalo de confiança para o desvio-padrão ( sigma) é baseado na distribuição qui-quadrado ( chi^2). A fórmula geral para o intervalo de confiança do desvio-padrão é:
( raiz(n-1)S^2chi^2sup, raiz(n-1)S^2chi^2inf )
Onde:
  • n é o tamanho da amostra.
  • S é o desvio-padrão da amostra.
  • chi^2sup e chi^2inf são os valores críticos da distribuição qui-quadrado que correspondem às extremidades do intervalo de confiança.

Passo 3

Vamos calcular os graus de liberdade ( df), que é dado por n - 1. Com n = 10:
df = 10 - 1 = 9

Passo 4

Agora, precisamos encontrar os valores críticos do chi^2 para um nível de confiança de 95%. Isso significa que há 2,5% em cada cauda da distribuição.
Consultando uma tabela de distribuição qui-quadrado ou usando uma calculadora estatística, encontramos:
chi^20.975, 9 approx 2,700
chi^20.025, 9 approx 19,023
(Nesses valores, chi^20.975, 9 é o valor crítico inferior e chi^20.025, 9 é o valor crítico superior para df = 9.)

Passo 5

Agora, vamos aplicar a fórmula do intervalo de confiança para sigma:
Primeiro, calculamos (n-1)S^2chi^2sup e (n-1)S^2chi^2inf:
(10-1) times (2,4)^219,023 = 9 times 5,7619,023 approx 51,8419,023 approx 2,726
(10-1) times (2,4)^22,700 = 9 times 5,762,700 approx 51,842,700 approx 19,2

Passo 6

Agora, tiramos a raiz quadrada desses valores para encontrar o intervalo de confiança para sigma:
raiz2,726 approx 1,650 po<=gadas
raiz19,2 approx 4,383 po<=gadas

Resposta

Portanto, o intervalo de confiança de 95% para o desvio-padrão populacional ( sigma) das alturas das mulheres é aproximadamente de 1,65 polegadas a 4,38 polegadas.

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