Calcule as integrais abaixo usando, antes da integração por partes, uma substituição apropriada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de . Esse exercício envolve conhecimentos de cálculo, especificamente substituição e integração por partes. Vamos precisar entender como fazer uma mudança de variável adequada antes de aplicar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir . Essa escolha vai ajudar a simplificar a expressão que está dentro do exponencial.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a : . Isso significa que podemos expressar como .

Passo 4

Observando a integral original , percebemos que . Já que , podemos reescrever como . Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, temos que calcular . Essa integral requer o uso da técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 6

Para aplicar a integração por partes, lembramos que:
Vamos escolher e .

Passo 7

Calculando as derivadas e integrais necessárias:

Passo 8

Aplicando a fórmula de integração por partes:

Passo 9

Calculamos a integral restante:

Passo 10

Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 11

Voltando à variável original , já que :

Passo 12

Finalmente, multiplicamos pelo fator que tínhamos no começo:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Use integração por partes para calcular as integrais abaixo, durante a integração em alguns itens você vai precisar usar o método de integração por substituição.
Use integração por partes para calcular as integrais abaixo.
Use integração por partes duas vezes para calcule a seguinte integral definida
Use integração por partes para calcular as integrais definidas abaixo.