Calcule as integrais abaixo usando, antes da integração por partes, uma substituição apropriada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de
. Esse exercício envolve conhecimentos de cálculo, especificamente substituição e integração por partes. Vamos precisar entender como fazer uma mudança de variável adequada antes de aplicar a técnica de integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir
. Essa escolha vai ajudar a simplificar a expressão que está dentro do exponencial.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
:
. Isso significa que podemos expressar
como
.
Passo 4
Observando a integral original
, percebemos que
. Já que
, podemos reescrever
como
. Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, temos que calcular
. Essa integral requer o uso da técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.
Passo 6
Para aplicar a integração por partes, lembramos que:
Vamos escolher
e
.
Passo 7
Calculando as derivadas e integrais necessárias:
Passo 8
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Passo 9
Calculamos a integral restante:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 11
Voltando à variável original
, já que
:
Passo 12
Finalmente, multiplicamos pelo fator
que tínhamos no começo:
Resposta
A integral é igual a
, onde
é a constante de integração.
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