Calcule as integrais abaixo usando, antes da integração por partes, uma substituição apropriada.
integral x^3 e^x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de . Esse exercício envolve conhecimentos de cálculo, especificamente substituição e integração por partes. Vamos precisar entender como fazer uma mudança de variável adequada antes de aplicar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir . Essa escolha vai ajudar a simplificar a expressão que está dentro do exponencial.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a : . Isso significa que podemos expressar como .

Passo 4

Observando a integral original integral x^3 e^x^2 , dx = 12 integral u e^u , du , percebemos que . Já que , podemos reescrever como . Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, temos que calcular . Essa integral requer o uso da técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 6

Para aplicar a integração por partes, lembramos que:
integral v , dw = v w - integral w , dv
Vamos escolher e .

Passo 7

Calculando as derivadas e integrais necessárias:
dv = du
w = integral e^u , du = e^u

Passo 8

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u e^u , du = u e^u - integral e^u , du

Passo 9

Calculamos a integral restante:
integral e^u , du = e^u + C

Passo 10

Substituindo de volta na expressão anterior:
integral u e^u , du = u e^u - e^u + C = e^u(u - 1) + C

Passo 11

Voltando à variável original e^u(u - 1) = e^x^2(x^2 - 1) , já que :

Passo 12

Finalmente, multiplicamos pelo fator 12(x^2 - 1) e^x^2 + C que tínhamos no começo:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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