Use integração por partes para provar as seguintes relações de igualdade.
integral cos ^n(x) d x=-1n cos ^n-1(x) sen(x)+n-1n integral cos ^n-2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando integração por partes. O enunciado pede para provar que:
integral cos^n(x) , dx = -1n cos^n-1(x) sin(x) + n-1n integral cos^n-2(x) , dx
Vamos precisar entender como aplicar a integração por partes e manipular potências de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, lembre-se da fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher u = cos^n-1(x) e dv = cos(x) , dx e de forma estratégica. Para essa integral, vamos deixar:

Passo 3

Agora, vamos derivar du = (n-1) cos^n-2(x) (-sin(x)) , dx = - (n-1) cos^n-2(x) sin(x) , dx e integrar v = integral cos(x) , dx = sin(x) :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral cos^n(x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo integral cos^n(x) , dx = cos^n-1(x) sin(x) - integral sin(x) cdot [ - (n-1) cos^n-2(x) sin(x) ] , dx , integral cos^n(x) , dx = cos^n-1(x) sin(x) + (n-1) integral cos^n-2(x) sin^2(x) , dx , :
Simplificando:

Passo 5

Observe que integral cos^n(x) , dx = cos^n-1(x) sin(x) + (n-1) integral cos^n-2(x) (1 - cos^2(x)) , dx . Vamos substituir isso na integral:
integral cos^n(x) , dx = cos^n-1(x) sin(x) + (n-1) integral cos^n-2(x) , dx - (n-1) integral cos^n(x) , dx
Distribuindo:

Passo 6

Vamos reunir os termos semelhantes. Adicione integral cos^n(x) , dx + (n-1) integral cos^n(x) , dx = cos^n-1(x) sin(x) + (n-1) integral cos^n-2(x) , dx aos dois lados:
n integral cos^n(x) , dx = cos^n-1(x) sin(x) + (n-1) integral cos^n-2(x) , dx
Isso simplifica para:
integral cos^n(x) , dx = 1n cos^n-1(x) sin(x) + n-1n integral cos^n-2(x) , dx
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

Assim, provamos que:
integral cos^n(x) , dx = -1n cos^n-1(x) sin(x) + n-1n integral cos^n-2(x) , dx

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