Use integração por partes para provar as seguintes relações de igualdade.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral usando integração por partes. O enunciado pede para provar que:
Vamos precisar entender como aplicar a integração por partes e manipular potências de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, lembre-se da fórmula de integração por partes:
Precisamos escolher e de forma estratégica. Para essa integral, vamos deixar:

Passo 3

Agora, vamos derivar e integrar :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo , , :
Simplificando:

Passo 5

Observe que . Vamos substituir isso na integral:
Distribuindo:

Passo 6

Vamos reunir os termos semelhantes. Adicione aos dois lados:
Isso simplifica para:
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

Assim, provamos que:

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