Use integração por partes para provar as seguintes relações de igualdade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral usando integração por partes. O enunciado pede para provar que:
Vamos precisar entender como aplicar a integração por partes e manipular potências de funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, lembre-se da fórmula de integração por partes:
Precisamos escolher
e
de forma estratégica. Para essa integral, vamos deixar:
Passo 3
Agora, vamos derivar
e integrar
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
,
:
Simplificando:
Passo 5
Observe que
. Vamos substituir isso na integral:
Distribuindo:
Passo 6
Vamos reunir os termos semelhantes. Adicione
aos dois lados:
Isso simplifica para:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
Assim, provamos que:
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Use o método integração por partes e calcule.
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