Calcule usando mudança de variável
integral x^21-x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral integral x^21 - x^2 dx usando o método de mudança de variável. Isso faz parte da matéria de Cálculo Integral, especificamente técnicas de integração por substituição. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão da integral e escolher uma substituição que simplifique o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que o denominador é 1 - x^2. Uma estratégia comum é tentar relacionar o numerador com a derivada do denominador para facilitar a substituição. Porém, temos x^2 no numerador, o que não é diretamente a derivada de 1 - x^2. Vamos reescrever a fração:
x^21 - x^2 = - (x^2 - 1)1 - x^2 = -1 + 11 - x^2

Passo 3

Agora, podemos separar a integral em duas partes:
integral x^21 - x^2 dx = integral ( -1 + 11 - x^2 ) dx = -integral 1 , dx + integral 11 - x^2 dx

Passo 4

Vamos resolver cada integral separadamente. A primeira é simples:
-integral 1 , dx = -x

Passo 5

Para a segunda integral, integral 11 - x^2 dx, reconhecemos que ela se assemelha à forma integral 1a^2 - x^2 dx, cuja antiderivada é conhecida. Podemos usar a substituição padrão:
integral 11 - x^2 dx = 12 ln|1 + x1 - x| + C

Passo 6

Agora, juntando as duas partes que calculamos:
- x + 12 ln|1 + x1 - x| + C

Resposta

integral x^21 - x^2 dx = -x + 12 ln|1 + x1 - x| + C

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