Calcule usando mudança de variável
integral 1raiz4+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a técnica de mudança de variável, que é uma forma de simplificar a integral substituindo uma expressão por outra que torne a resolução mais fácil. Para isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e propriedades das integrais.

Passo 2

Primeiro, escolhemos uma substituição que simplifique o denominador dx = 2 sec^2(theta) , dtheta . Uma boa escolha é definir . Com isso, vamos calcular o diferencial :

Passo 3

Agora, substituímos raiz4 + x^2 = raiz4 + 4 tan^2(theta) = raiz4(1 + tan^2(theta)) = 2 sec(theta) na expressão :

Passo 4

Substituímos integral 1raiz4 + x^2 , dx = integral 12 sec(theta) cdot 2 sec^2(theta) , dtheta e integral sec(theta) , dtheta na integral original:
Simplificando a expressão:

Passo 5

A integral de integral sec(theta) , dtheta = ln |sec(theta) + tan(theta)| + C é uma integral padrão. Sabemos que:

Passo 6

Agora, precisamos voltar para a variável original tan(theta) = x2 . Sabemos que sec(theta) = raiz1 + (x2)^2 = raiz4 + x^22 , então:
E como :

Passo 7

Substituímos ln | raiz4 + x^22 + x2 | + C = ln | raiz4 + x^2 + x2 | + C e ln | x + raiz4 + x^2 | + C de volta na expressão logarítmica:
Como a constante pode absorver o fator constante dentro do logaritmo, simplificamos para:

Resposta

ln ( x + raiz4 + x^2 ) + C

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