Use integração por partes para resolver as integrais: integral x arctan (x) d xraiz1+x^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a integral usando integração por partes. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente usando o método de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da função vamos chamar de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Essa fórmula nos ajuda a dividir a integral em partes mais simples para resolver.

Passo 3

Agora, precisamos escolher u = arctan(x) e dv = xraiz1 + x^2 , dx e na nossa integral. Olhando para , uma boa escolha é:

Passo 4

Com du = 11 + x^2 , dx , vamos derivar para encontrar v = raiz1 + x^2 :
E com , vamos integrar para encontrar . Para integrar , podemos fazer uma substituição simples:
Isso porque a derivada de em relação a é , que é o nosso .

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral x arctan(x)raiz1 + x^2 , dx = arctan(x) cdot raiz1 + x^2 - integral raiz1 + x^2 cdot 11 + x^2 , dx

Passo 6

Simplificamos a segunda integral:
integral raiz1 + x^2 cdot 11 + x^2 , dx = integral raiz1 + x^21 + x^2 , dx = integral 1raiz1 + x^2 , dx
A integral é uma forma padrão que sabemos como resolver.

Passo 7

A integral de integral 1raiz1 + x^2 , dx = ln( x + raiz1 + x^2 ) + C é:
onde é a constante de integração.

Resposta

Juntando tudo, a solução da integral é:
arctan(x) cdot raiz1 + x^2 - ln( x + raiz1 + x^2 ) + C

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