O valor médio de uma função f(x, y) em uma região R é definido como
fmed=1A(R) integral duplaR f(x, y) d A
onde A(R) é a área da região R.
Calcule o valor médio
da função f(x, y)=x y^2
no retângulo R=[0,2] times[0,1].

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa calcular o valor médio da função em uma região retangular . Para isso, vamos usar a definição de valor médio de uma função sobre uma área, que envolve calcular uma integral dupla e a área da região.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a área da região A(R) = 2 times 1 = 2 . Como é um retângulo com base de 2 unidades e altura de 1 unidade, a área é:

Passo 3

Agora, vamos montar a integral dupla para calcular integral duplaR x y^2 , dA = integral0^2 integral0^1 x y^2 , dy , dx . Como vai de a e de a , a integral fica:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^1 x y^2 , dy = x integral0^1 y^2 , dy = x [ y^33 ]0^1 = x ( 13 - 0 ) = x3 :

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a integral0^2 x3 , dx = 13 integral0^2 x , dx = 13 [ x^22 ]0^2 = 13 ( 42 - 0 ) = 13 times 2 = 23 :

Passo 6

Finalmente, para encontrar o valor médio fmed = 1A(R) integral duplaR f(x, y) , dA = 12 times 23 = 13 , dividimos a integral dupla pela área da região:

Resposta

O valor médio da função no retângulo é .

Exercícios relacionados