Calcule as integrais duplas.
integral duplaR 1-x d A, R é a região do primeiro quadrante compreendida por y=x e y=x^3.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral dupla de sobre a região . A região está no primeiro quadrante e é delimitada pelas curvas e . Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar uma integral dupla e identificar os limites de integração apropriados para as curvas dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . No primeiro quadrante, e são positivos. As curvas e se cruzam quando . Resolvendo , temos , ou seja, , o que dá ou . No primeiro quadrante, apenas e são relevantes. Então, a região vai de a .

Passo 3

Para encontrar os limites de integralx=0^1 integraly=x^3^x (1 - x) , dy , dx para cada na região , observamos que para um dado entre 0 e 1, varia de (a curva inferior) até (a curva superior). Portanto, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é a integral em relação a integraly=x^3^x (1 - x) , dy :
(1 - x) cdot (x - x^3) = (1 - x)(x - x^3)
Aqui, é uma constante em relação a , então a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:
(1 - x)(x - x^3) = x(1 - x) - x^3(1 - x) = x - x^2 - x^3 + x^4
Agora, nossa integral se torna:
integral0^1 (x - x^2 - x^3 + x^4) , dx

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral x , dx = x^22, integral x^2 , dx = x^33, integral x^3 , dx = x^44, integral x^4 , dx = x^55
Substituindo na integral:
[ x^22 - x^33 - x^44 + x^55 ]0^1

Passo 7

Agora, avaliamos os limites de 0 a 1:
Para 1^22 - 1^33 - 1^44 + 1^55 = 12 - 13 - 14 + 15 :
02 - 03 - 04 + 05 = 0
Para 12 - 13 - 14 + 15 :
Então, a integral vale:

Passo 8

Vamos calcular isso passo a passo:
12 - 13 = 36 - 26 = 16
16 - 14 = 212 - 312 = -112
-112 + 15 = -560 + 1260 = 760

Resposta

O valor da integral dupla é .

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