Calcule as integrais duplas.
é a região do primeiro quadrante compreendida por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral dupla de
sobre a região
. A região
está no primeiro quadrante e é delimitada pelas curvas
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar uma integral dupla e identificar os limites de integração apropriados para as curvas dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. No primeiro quadrante,
e
são positivos. As curvas
e
se cruzam quando
. Resolvendo
, temos
, ou seja,
, o que dá
ou
. No primeiro quadrante, apenas
e
são relevantes. Então, a região
vai de
a
.
Passo 3
Para encontrar os limites de
para cada
na região
, observamos que para um dado
entre 0 e 1,
varia de
(a curva inferior) até
(a curva superior). Portanto, podemos expressar a integral dupla como uma integral iterada:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é a integral em relação a
:
Aqui,
é uma constante em relação a
, então a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão:
Agora, nossa integral se torna:
Passo 6
Vamos integrar cada termo separadamente:
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, avaliamos os limites de 0 a 1:
Para
:
Para
:
Então, a integral vale:
Passo 8
Vamos calcular isso passo a passo:
Resposta
O valor da integral dupla é
.