Calcule as integrais iteradas
integral3^4 integral1^2 1(x+y)^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral iterada:
integral3^4 integral1^2 1(x+y)^2 , dy , dx
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que são usadas para calcular áreas e volumes em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Vamos começar integrando a função integral1^2 1(x+y)^2 , dy em relação a , mantendo constante. A integral fica assim:
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição simples. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é .

Passo 3

Com a substituição integralx+1^x+2 1u^2 , du , os limites de integração também mudam:
  • Quando integral 1u^2 , du = -1u + C , -1u |x+1^x+2 = -1x+2 + 1x+1
  • Quando 1x+1 - 1x+2 ,
Agora, a integral fica:
Integrando em relação a :
Aplicando os limites de integração:
Então, a integral interna resulta em:

Passo 4

Agora que resolvemos a integral em relação a integral3^4 ( 1x+1 - 1x+2 ) , dx , vamos substituir esse resultado na integral externa, que é em relação a integral3^4 1x+1 , dx - integral3^4 1x+2 , dx :
Essa expressão pode ser dividida em duas integrais separadas:

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente. A antiderivada de integral 1x+1 , dx = ln|x+1| + C em relação a integral 1x+2 , dx = ln|x+2| + C é .
Primeira integral:
Segunda integral:

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração para cada antiderivada.
Para a primeira integral:
ln(x+1) |3^4 = ln(5) - ln(4)
Para a segunda integral:
ln(x+2) |3^4 = ln(6) - ln(5)
Subtraindo os resultados das duas integrais:
[ln(5) - ln(4)] - [ln(6) - ln(5)] = ln(5) - ln(4) - ln(6) + ln(5) = 2ln(5) - ln(4) - ln(6)
Podemos simplificar isso usando propriedades dos logaritmos:
2ln(5) - ln(4) - ln(6) = ln(5^2) - ln(4 times 6) = ln(25) - ln(24) = ln(2524)

Resposta

A integral dupla vale .

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