Beleza, vamos resolver essa integral dupla juntos! O enunciado pede para calcular a integral iterada:
Aqui, estamos lidando com integrais duplas, que são usadas para calcular áreas e volumes em funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar integrar primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 2
Vamos começar integrando a função em relação a , mantendo constante. A integral fica assim:
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição simples. Vamos deixar . Então, a derivada de em relação a é .
Passo 3
Com a substituição , os limites de integração também mudam:
Quando ,
Quando ,
Agora, a integral fica:
Integrando em relação a :
Aplicando os limites de integração:
Então, a integral interna resulta em:
Passo 4
Agora que resolvemos a integral em relação a integral3^4 ( 1x+1 - 1x+2 ) , dx , vamos substituir esse resultado na integral externa, que é em relação a integral3^4 1x+1 , dx - integral3^4 1x+2 , dx :
Essa expressão pode ser dividida em duas integrais separadas:
Passo 5
Vamos resolver cada uma dessas integrais individualmente. A antiderivada de integral 1x+1 , dx = ln|x+1| + C em relação a integral 1x+2 , dx = ln|x+2| + C é .
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 6
Agora, aplicamos os limites de integração para cada antiderivada.