Use uma integral dupla em coordenadas polares para encontrar o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações dadas.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo de volume usando integração dupla em coordenadas polares. O problema nos pede para encontrar o volume do sólido limitado pelas equações
,
e
. Para isso, vamos precisar entender como transformar essas equações para coordenadas polares e aplicar a fórmula de integração adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações que delimitam o sólido:
-
representa uma superfície cônica. -
é o plano xy. -
é um círculo de raio 5 no plano xy.
Como estamos trabalhando com coordenadas polares, onde
e
, a expressão
se simplifica para
. Portanto,
.
Passo 3
Para encontrar o volume do sólido, vamos configurar uma integral dupla em coordenadas polares. A fórmula para o volume é:
Onde:
-
é a região no plano xy que, neste caso, é o círculo . -
é a altura do sólido em cada ponto.
Passo 4
Determinar os limites de integração:
-
varia de 0 a 5, pois o raio do círculo é 5. -
varia de 0 a , cobrindo toda a circunferência.
Passo 5
Substituir
na integral e configurar os limites:
Passo 6
Integrar em relação a
primeiro:
Passo 7
Agora, integrar em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule as derivdas abaixo:
Calcule as derivdas abaixo:
Calcule as derivdas abaixo:
Calcule as derivdas abaixo: