Use uma integral dupla em coordenadas polares para encontrar o volume do sólido limitado pelos gráficos das equações dadas.
z = raiz(x^2 + y^2), z = 0, x^2 + y^2 = 25

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo de volume usando integração dupla em coordenadas polares. O problema nos pede para encontrar o volume do sólido limitado pelas equações , e . Para isso, vamos precisar entender como transformar essas equações para coordenadas polares e aplicar a fórmula de integração adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que delimitam o sólido:
  1. representa uma superfície cônica.
  2. é o plano xy.
  3. é um círculo de raio 5 no plano xy.
Como estamos trabalhando com coordenadas polares, onde e , a expressão se simplifica para . Portanto, .

Passo 3

Para encontrar o volume do sólido, vamos configurar uma integral dupla em coordenadas polares. A fórmula para o volume é:
Onde:
  • é a região no plano xy que, neste caso, é o círculo .
  • é a altura do sólido em cada ponto.

Passo 4

Determinar os limites de integração:
  • varia de 0 a 5, pois o raio do círculo é 5.
  • varia de 0 a , cobrindo toda a circunferência.

Passo 5

Substituir na integral e configurar os limites:

Passo 6

Integrar em relação a primeiro:

Passo 7

Agora, integrar em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Calcule as derivdas abaixo: (v^21)'
Calcule as derivdas abaixo: (theta^5)'
Calcule as derivdas abaixo: (e^θ)'
Calcule as derivdas abaixo: (e^9)'