Use a lei de Biot-Savart para mostrar que o módulo do campo magnético a uma distância perpendicular de um fio retilíneo longo (infinito) percorrido por uma corrente é dado por . Note que para o fio semi-infinito com corrente vale .

Passo 1

Então, a gente tem um fio retilíneo infinito percorrido por uma corrente elétrica e queremos descobrir o módulo do campo magnético a uma distância perpendicular desse fio. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Biot-Savart, que é fundamental na eletromagnetismo para calcular campos magnéticos criados por correntes elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Biot-Savart. Ela nos diz que o campo magnético gerado por um elemento infinitesimal de corrente em um ponto no espaço é dado por:
Aqui:
  • é a permeabilidade do vácuo.
  • é um pequeno segmento do fio com corrente .
  • é o vetor que vai do elemento de corrente até o ponto onde queremos calcular o campo magnético.
  • representa o produto vetorial.

Passo 3

Vamos aplicar essa lei para um fio retilíneo longo e infinito. Imaginemos o fio ao longo do eixo e o ponto onde queremos calcular está a uma distância no eixo . Por simetria, o campo magnético estará circulando ao redor do fio, na direção do ângulo .
Nesse caso, o vetor tem magnitude e faz um ângulo com o segmento . Como o fio é infinito, vamos integrar de a .

Passo 4

Vamos calcular a integral. Primeiro, notamos que o produto vetorial vai nos dar uma direção perpendicular ao plano formado por e , que, por simetria, resulta na direção do campo magnético circular.
A magnitude de fica:
Para um fio retilíneo, porque . Então:
A distância aqui é sempre , e a integral ao longo de todo o fio vai de a :
No entanto, como o fio é infinito, a integral se torna uma substituição para integrar em termos de , resultando em uma simplificação que leva a:

Resposta

O módulo do campo magnético a uma distância perpendicular de um fio retilíneo longo e infinito percorrido por uma corrente é dado por
E para um fio semi-infinito, o campo magnético é metade desse valor:

Exercícios relacionados

Um calorímetro contendo 600 g uma mistura Specific Heats of Common Materials de gelo e água a com concentração de em volume. Se 500 g de uma determinada substância, no estado sólido e a , são adicionados ao calorímetro, o sistema entra em equilíbrio térmico à temperatura de . Se a capacidade térmica do calorímetro é de 0,2 , encontre o calor específico da substância e indique qual é o material provável baseado na tabela ao lado.
MATERIAL SPECIFIC HEAT <br> (Joules/gram )
Liquid water 4.18
Solid water (ice) 2.11
Water vapor 2.00
Dry air 1.01
Basalt 0.84
Granite 0.79
Iron 0.45
Copper 0.38
Lead 0.13
Dados: .
b) Explique porque este experimento simples poderia ser utilizado para comprovar a Segunda Lei da Termodinâmica. Suponha que no caso mostrado no painel da direita, soprasse um vento no sentido contrário ao giro do ventilador, fazendo o sistema funcionar
A densidade de corrente no interior de um fio cilíndrico, longo, de raio , é paralela ao eixo central, e o módulo varia linearmente com a distância radial de acordo com a equação . Determine o módulo do campo magnético para .
Mostre que o campo de uma bobina circular de raio com corrente num ponto distante do eixo central vale .