Use a lei de Biot-Savart para mostrar que o módulo do campo magnético a uma distância perpendicular R de um fio retilíneo longo (infinito) percorrido por uma corrente i é dado por B= mu0 i2 pi R. Note que para o fio semi-infinito com corrente i vale B=mu0 i4 pi R.

Passo 1

Então, a gente tem um fio retilíneo infinito percorrido por uma corrente elétrica e queremos descobrir o módulo do campo magnético a uma distância perpendicular desse fio. Para resolver isso, vamos usar a Lei de Biot-Savart, que é fundamental na eletromagnetismo para calcular campos magnéticos criados por correntes elétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Biot-Savart. Ela nos diz que o campo magnético dB = mu04pi I , dl times r|r|^3 gerado por um elemento infinitesimal de corrente em um ponto no espaço é dado por:
Aqui:
  • é a permeabilidade do vácuo.
  • é um pequeno segmento do fio com corrente .
  • é o vetor que vai do elemento de corrente até o ponto onde queremos calcular o campo magnético.
  • representa o produto vetorial.

Passo 3

Vamos aplicar essa lei para um fio retilíneo longo e infinito. Imaginemos o fio ao longo do eixo e o ponto onde queremos calcular está a uma distância no eixo . Por simetria, o campo magnético estará circulando ao redor do fio, na direção do ângulo .
Nesse caso, o vetor tem magnitude e faz um ângulo com o segmento . Como o fio é infinito, vamos integrar de a .

Passo 4

Vamos calcular a integral. Primeiro, notamos que o produto vetorial dB = mu04pi I , dl , sinthetaR^2 vai nos dar uma direção perpendicular ao plano formado por dB = mu0 I4pi R^2 , dl e B = integral-infty^+infty dB = mu0 I4pi R^2 integral-infty^+infty dl , que, por simetria, resulta na direção do campo magnético circular.
A magnitude de B = mu0 I2pi R fica:
Para um fio retilíneo, porque . Então:
A distância aqui é sempre , e a integral ao longo de todo o fio vai de a :
No entanto, como o fio é infinito, a integral se torna uma substituição para integrar em termos de , resultando em uma simplificação que leva a:

Resposta

O módulo do campo magnético a uma distância perpendicular B = mu0 , i2, pi , R de um fio retilíneo longo e infinito percorrido por uma corrente B = mu0 , i4, pi , R é dado por
E para um fio semi-infinito, o campo magnético é metade desse valor:

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