Mostre que o campo B de uma bobina circular de raio R com corrente i num ponto P distante z do eixo central vale B=mu0 i R^22(z^2+R^2)^3 / 2.

Passo 1

Então, a gente tem uma bobina circular com raio R que está passando uma corrente elétrica i. A pergunta é para mostrar que o campo magnético B gerado por essa bobina em um ponto P que está a uma distância z do centro do eixo da bobina é dado por B=mu0 i R^22(z^2+R^2)^3 / 2. Vamos usar o estudo de campos magnéticos criados por correntes em condutores, especificamente a Lei de Biot-Savart, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por uma corrente elétrica. A fórmula geral é:
B = mu04pi integral I dl times rr^2
Aqui, I é a corrente, dl é um elemento infinitesimal do condutor, r é o vetor unitário que aponta de dl até o ponto P, e r é a distância entre eles.

Passo 3

No caso da bobina circular, a simetria do problema ajuda bastante. Vamos considerar um pequeno segmento da bobina, dl, que está em uma posição qualquer na circunferência. O ponto P está ao longo do eixo central a uma distância z do centro da bobina. Devido à simetria circular, as componentes do campo magnético que são perpendiculares ao eixo se cancelam, restando apenas a componente ao longo do eixo.

Passo 4

Vamos calcular a contribuição do campo magnético na direção do eixo ( z). A perpendicularidade entre dl e r nos dá:
dBz = mu04pi I d l cdot z(z^2 + R^2)^3/2
Aqui, dl é o comprimento do segmento infinitesimal da bobina, e usamos a geometria do problema para encontrar a projeção na direção z.

Passo 5

Para obter o campo total Bz, integramos dBz ao redor de toda a circunferência da bobina. Como o campo é o mesmo em todos os pontos da circunferência devido à simetria, podemos multiplicar por 2pi R (o perímetro da bobina):
Bz = mu0 I z4pi cdot 2pi R^2(z^2 + R^2)^3/2

Passo 6

Simplificando a expressão, cancelamos os termos 2pi e 4pi, ficando:
Bz = mu0 I R^22 (z^2 + R^2)^3/2

Resposta

Portanto, o campo magnético B no ponto P é:
B = mu0 i R^22(z^2+R^2)^3 / 2

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