Mostre que o campo
de uma bobina circular de raio
com corrente
num ponto
distante
do eixo central vale
.
Passo 1
Então, a gente tem uma bobina circular com raio
que está passando uma corrente elétrica
. A pergunta é para mostrar que o campo magnético
gerado por essa bobina em um ponto
que está a uma distância
do centro do eixo da bobina é dado por
. Vamos usar o estudo de campos magnéticos criados por correntes em condutores, especificamente a Lei de Biot-Savart, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por uma corrente elétrica. A fórmula geral é:
Aqui,
é a corrente,
é um elemento infinitesimal do condutor,
é o vetor unitário que aponta de
até o ponto
, e
é a distância entre eles.
Passo 3
No caso da bobina circular, a simetria do problema ajuda bastante. Vamos considerar um pequeno segmento da bobina,
, que está em uma posição qualquer na circunferência. O ponto
está ao longo do eixo central a uma distância
do centro da bobina. Devido à simetria circular, as componentes do campo magnético que são perpendiculares ao eixo se cancelam, restando apenas a componente ao longo do eixo.
Passo 4
Vamos calcular a contribuição do campo magnético na direção do eixo (
). A perpendicularidade entre
e
nos dá:
Aqui,
é o comprimento do segmento infinitesimal da bobina, e usamos a geometria do problema para encontrar a projeção na direção
.
Passo 5
Para obter o campo total
, integramos
ao redor de toda a circunferência da bobina. Como o campo é o mesmo em todos os pontos da circunferência devido à simetria, podemos multiplicar por
(o perímetro da bobina):
Passo 6
Simplificando a expressão, cancelamos os termos
e
, ficando:
Resposta
Portanto, o campo magnético
no ponto
é: