Mostre que o campo
de uma bobina circular de raio
com corrente
num ponto
distante
do eixo central vale
.
Passo 1
Então, a gente tem uma bobina circular com raio
que está passando uma corrente elétrica
. A pergunta é para mostrar que o campo magnético
gerado por essa bobina em um ponto
que está a uma distância
do centro do eixo da bobina é dado por
. Vamos usar o estudo de campos magnéticos criados por correntes em condutores, especificamente a Lei de Biot-Savart, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por uma corrente elétrica. A fórmula geral é:
Aqui,
é a corrente,
é um elemento infinitesimal do condutor,
é o vetor unitário que aponta de
até o ponto
, e
é a distância entre eles.
Passo 3
No caso da bobina circular, a simetria do problema ajuda bastante. Vamos considerar um pequeno segmento da bobina,
, que está em uma posição qualquer na circunferência. O ponto
está ao longo do eixo central a uma distância
do centro da bobina. Devido à simetria circular, as componentes do campo magnético que são perpendiculares ao eixo se cancelam, restando apenas a componente ao longo do eixo.
Passo 4
Vamos calcular a contribuição do campo magnético na direção do eixo (
). A perpendicularidade entre
e
nos dá:
Aqui,
é o comprimento do segmento infinitesimal da bobina, e usamos a geometria do problema para encontrar a projeção na direção
.
Passo 5
Para obter o campo total
, integramos
ao redor de toda a circunferência da bobina. Como o campo é o mesmo em todos os pontos da circunferência devido à simetria, podemos multiplicar por
(o perímetro da bobina):
Passo 6
Simplificando a expressão, cancelamos os termos
e
, ficando:
Resposta
Portanto, o campo magnético
no ponto
é:
Exercícios relacionados
A densidade de corrente no interior de um fio cilíndrico, longo, de raio
, é paralela ao eixo central, e o módulo varia linearmente com a distância radial
de acordo com a equação
. Determine o módulo do campo magnético para
.
Use a lei de Biot-Savart para mostrar que o módulo do campo magnético a uma distância perpendicular
de um fio retilíneo longo (infinito) percorrido por uma corrente
é dado por
. Note que para o fio semi-infinito com corrente
vale
.
Duas fendas estreitas paralelas que estão a
de distância uma da outra são iluminadas por um feixe de laser cujo comprimento é de onda é 585 nm . a) Em uma tela muito distante qual é o número total de franjas brilhantes (aquelas que indicam uma interferência construtiva completa), inclusive a franja central e aquelas em ambos os lados da franja central? Resolva este problema sem calcular todos os ângulos! (Sugestão: qual é o valor máximo que sen
pode assumir? O que isso indica a respeito de qual é o maior valor possível de
?) b) Em que ângulo ocorre a franja que está mais longe da franja brilhante central em relação à direção original do feixe?
(b) Mostre que para
a autoindutância do toróide tem a mesma forma que a de um solenoide
, em que
é a área da seção transversal e l o comprimento do solenoide).