Mostre que o campo de uma bobina circular de raio com corrente num ponto distante do eixo central vale .

Passo 1

Então, a gente tem uma bobina circular com raio que está passando uma corrente elétrica . A pergunta é para mostrar que o campo magnético gerado por essa bobina em um ponto que está a uma distância do centro do eixo da bobina é dado por . Vamos usar o estudo de campos magnéticos criados por correntes em condutores, especificamente a Lei de Biot-Savart, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Biot-Savart, que nos ajuda a calcular o campo magnético gerado por uma corrente elétrica. A fórmula geral é:
Aqui, é a corrente, é um elemento infinitesimal do condutor, é o vetor unitário que aponta de até o ponto , e é a distância entre eles.

Passo 3

No caso da bobina circular, a simetria do problema ajuda bastante. Vamos considerar um pequeno segmento da bobina, , que está em uma posição qualquer na circunferência. O ponto está ao longo do eixo central a uma distância do centro da bobina. Devido à simetria circular, as componentes do campo magnético que são perpendiculares ao eixo se cancelam, restando apenas a componente ao longo do eixo.

Passo 4

Vamos calcular a contribuição do campo magnético na direção do eixo ( ). A perpendicularidade entre e nos dá:
Aqui, é o comprimento do segmento infinitesimal da bobina, e usamos a geometria do problema para encontrar a projeção na direção .

Passo 5

Para obter o campo total , integramos ao redor de toda a circunferência da bobina. Como o campo é o mesmo em todos os pontos da circunferência devido à simetria, podemos multiplicar por (o perímetro da bobina):

Passo 6

Simplificando a expressão, cancelamos os termos e , ficando:

Resposta

Portanto, o campo magnético no ponto é:

Exercícios relacionados

A densidade de corrente no interior de um fio cilíndrico, longo, de raio , é paralela ao eixo central, e o módulo varia linearmente com a distância radial de acordo com a equação . Determine o módulo do campo magnético para .
Use a lei de Biot-Savart para mostrar que o módulo do campo magnético a uma distância perpendicular de um fio retilíneo longo (infinito) percorrido por uma corrente é dado por . Note que para o fio semi-infinito com corrente vale .
Duas fendas estreitas paralelas que estão a de distância uma da outra são iluminadas por um feixe de laser cujo comprimento é de onda é 585 nm . a) Em uma tela muito distante qual é o número total de franjas brilhantes (aquelas que indicam uma interferência construtiva completa), inclusive a franja central e aquelas em ambos os lados da franja central? Resolva este problema sem calcular todos os ângulos! (Sugestão: qual é o valor máximo que sen pode assumir? O que isso indica a respeito de qual é o maior valor possível de ?) b) Em que ângulo ocorre a franja que está mais longe da franja brilhante central em relação à direção original do feixe?
(b) Mostre que para a autoindutância do toróide tem a mesma forma que a de um solenoide , em que é a área da seção transversal e l o comprimento do solenoide).