A densidade de corrente no interior de um fio cilíndrico, longo, de raio
, é paralela ao eixo central, e o módulo varia linearmente com a distância radial
de acordo com a equação
. Determine o módulo do campo magnético para
.
Passo 1
Então, temos um fio cilíndrico longo com raio
, onde a densidade de corrente
varia linearmente com a distância radial
de acordo com a equação
. Nosso objetivo é determinar o módulo do campo magnético
para
, ou seja, fora do fio. Vamos usar conceitos de magnetostática, especificamente a Lei de Ampère, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a corrente total
que passa pelo fio. A densidade de corrente
é a corrente por unidade de área, então a corrente total é a integral de
sobre a área transversal do fio.
Passo 3
A área diferencial em coordenadas cilíndricas é
. Então, a corrente total é:
Passo 4
Simplificando a integral:
Calculando a integral:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos aplicar a Lei de Ampère para encontrar o campo magnético fora do fio (
). A Lei de Ampère diz que:
Onde
é a corrente encerrada pelo caminho de Ampère. Como
está fora do fio,
.
Passo 6
Escolhemos um caminho circular de raio
ao redor do fio. O campo magnético
será constante ao longo desse caminho e perpendicular a ele, então a integral simplifica para:
Passo 7
Isolando
:
Substituindo
e
:
Resposta
O módulo do campo magnético para
é
.