A densidade de corrente no interior de um fio cilíndrico, longo, de raio a, é paralela ao eixo central, e o módulo varia linearmente com a distância radial r de acordo com a equação J=J0 r / a. Determine o módulo do campo magnético para r=2 a.

Passo 1

Então, temos um fio cilíndrico longo com raio , onde a densidade de corrente varia linearmente com a distância radial de acordo com a equação . Nosso objetivo é determinar o módulo do campo magnético para , ou seja, fora do fio. Vamos usar conceitos de magnetostática, especificamente a Lei de Ampère, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a corrente total que passa pelo fio. A densidade de corrente é a corrente por unidade de área, então a corrente total é a integral de sobre a área transversal do fio.

Passo 3

A área diferencial em coordenadas cilíndricas é I = integral0^a J , dA = integral0^a J0 ra cdot 2pi r , dr . Então, a corrente total é:

Passo 4

Simplificando a integral:
I = 2pi J0a integral0^a r^2 , dr
Calculando a integral:
integral0^a r^2 , dr = [ r^33 ]0^a = a^33
Portanto:
I = 2pi J0a cdot a^33 = 2pi J0 a^23

Passo 5

Agora, vamos aplicar a Lei de Ampère para encontrar o campo magnético fora do fio ( oint B cdot dl = mu0 Ienc ). A Lei de Ampère diz que:
Onde é a corrente encerrada pelo caminho de Ampère. Como está fora do fio, .

Passo 6

Escolhemos um caminho circular de raio B cdot 2pi r = mu0 I ao redor do fio. O campo magnético será constante ao longo desse caminho e perpendicular a ele, então a integral simplifica para:

Passo 7

Isolando B = mu0 I2pi r :
B = mu0 cdot 2pi J0 a^232pi cdot 2a = mu0 J0 a^23 cdot 2a = mu0 J0 a6
Substituindo e :

Resposta

O módulo do campo magnético para é .

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