Use as matrizes A=[ll3 & 1 5 & 2], B=[cc2 & -3 4 & 4] e C=[cc6 & 4 -2 & -1] para mostrar que
(A B C)^-1=C^-1 B^-1 A^-1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três matrizes:
A = 3 & 1 5 & 2 , B = 2 & -3 4 & 4 , C = 6 & 4 -2 & -1
A tarefa é mostrar que a inversa do produto dessas três matrizes é igual ao produto das inversas na ordem inversa, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar conhecer como multiplicar matrizes e como encontrar a inversa de uma matriz .

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar as matrizes AB = A times B = 3 & 1 5 & 2 times 2 & -3 4 & 4 , AB = (3 times 2 + 1 times 4) & (3 times -3 + 1 times 4) (5 times 2 + 2 times 4) & (5 times -3 + 2 times 4) e AB = 6 + 4 & -9 + 4 10 + 8 & -15 + 8 nessa ordem para encontrar AB = 10 & -5 18 & -7 . Lembrando que a multiplicação de matrizes não é comutativa, então a ordem importa.
Multiplicando e :

Passo 3

Agora, vamos multiplicar o resultado ABC = AB times C = 10 & -5 18 & -7 times 6 & 4 -2 & -1 pela matriz ABC = (10 times 6 + (-5) times -2) & (10 times 4 + (-5) times -1) (18 times 6 + (-7) times -2) & (18 times 4 + (-7) times -1) para encontrar ABC = 60 + 10 & 40 + 5 108 + 14 & 72 + 7 :
ABC = 70 & 45 122 & 79

Passo 4

Agora precisamos encontrar a inversa de a & b c & d , ou seja, 1ad - bc d & -b -c & a . Para uma matriz det(ABC) = (70 times 79) - (45 times 122) = 5530 - 5490 = 40 (ABC)^-1 = 140 79 & -45 -122 & 70 , a inversa é dada por:
(ABC)^-1 = 7940 & -4540 -12240 & 7040
Primeiro, vamos calcular o determinante de (ABC)^-1 = 1.975 & -1.125 -3.05 & 1.75 :
Então, a inversa de é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar as inversas individuais das matrizes det(A) = (3 times 2) - (1 times 5) = 6 - 5 = 1 , A^-1 = 11 2 & -1 -5 & 3 = 2 & -1 -5 & 3 e det(B) = (2 times 4) - (-3 times 4) = 8 + 12 = 20 , e depois multiplicá-las na ordem inversa B^-1 = 120 4 & 3 -4 & 2 .
Começando com B^-1 = 0.2 & 0.15 -0.2 & 0.1 :
det(C) = (6 times -1) - (4 times -2) = -6 + 8 = 2
C^-1 = 12 -1 & -4 2 & 6
Agora C^-1 = -0.5 & -2 1 & 3 :
E :

Passo 6

Agora, vamos multiplicar C^-1B^-1 = -0.5 & -2 1 & 3 times 0.2 & 0.15 -0.2 & 0.1 , C^-1B^-1 = (-0.5 times 0.2) + (-2 times -0.2) & (-0.5 times 0.15) + (-2 times 0.1) (1 times 0.2) + (3 times -0.2) & (1 times 0.15) + (3 times 0.1) e C^-1B^-1 = -0.1 + 0.4 & -0.075 - 0.2 0.2 - 0.6 & 0.15 + 0.3 nessa ordem:
C^-1B^-1 = 0.3 & -0.275 -0.4 & 0.45
C^-1B^-1A^-1 = 0.3 & -0.275 -0.4 & 0.45 times 2 & -1 -5 & 3
C^-1B^-1A^-1 = (0.3 times 2) + (-0.275 times -5) & (0.3 times -1) + (-0.275 times 3) (-0.4 times 2) + (0.45 times -5) & (-0.4 times -1) + (0.45 times 3)
C^-1B^-1A^-1 = 0.6 + 1.375 & -0.3 - 0.825 -0.8 - 2.25 & 0.4 + 1.35
Agora, multiplicamos o resultado por C^-1B^-1A^-1 = 1.975 & -1.125 -3.05 & 1.75 :

Resposta

Conseguimos mostrar que:
(ABC)^-1 = C^-1B^-1A^-1 = 1.975 & -1.125 -3.05 & 1.75

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