Mostre que a^3 equiv a bmod 6, para qualquer a inteiro.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que para qualquer número inteiro . Isso está relacionado a aritmética modular, que é como lidamos com restos de divisões. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de congruências e propriedades de números inteiros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a^3 - a é mú. Isso quer dizer que, quando subtraímos de , o resultado é divisível por 6. Em outras palavras:
éú
Então, nossa meta é provar que sempre será divisível por 6, não importa qual inteiro seja.

Passo 3

Para mostrar que a^3 - a = a(a^2 - 1) = a(a - 1)(a + 1) é divisível por 6, vamos fatorar essa expressão:
Agora, temos um produto de três números consecutivos: , e .

Passo 4

Sabemos que em qualquer três números consecutivos, sempre haverá pelo menos um número par e um múltiplo de 3. Isso porque os números pares e os múltiplos de 3 acontecem em intervalos fixos.
  • Número par: Um desses três números sempre será par, ou seja, divisível por 2.
  • Múltiplo de 3: Pelo menos um dos três números será divisível por 3.

Passo 5

Assim, no produto , temos um fator que é divisível por 2 e outro que é divisível por 3. Portanto, o produto todo será divisível por .

Passo 6

Já que a^3 equiv a mod 6 é divisível por 6, isso significa que:
Ou seja, o resto da divisão de por 6 é igual ao resto da divisão de por 6, para qualquer inteiro .

Resposta

Então, mostramos que para qualquer número inteiro , .

Exercícios relacionados