Mostre que
, para qualquer
inteiro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrarmos que
para qualquer número inteiro
. Isso está relacionado a aritmética modular, que é como lidamos com restos de divisões. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos básicos de congruências e propriedades de números inteiros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que, quando subtraímos
de
, o resultado é divisível por 6. Em outras palavras:
Então, nossa meta é provar que
sempre será divisível por 6, não importa qual inteiro
seja.
Passo 3
Para mostrar que
é divisível por 6, vamos fatorar essa expressão:
Agora, temos um produto de três números consecutivos:
,
e
.
Passo 4
Sabemos que em qualquer três números consecutivos, sempre haverá pelo menos um número par e um múltiplo de 3. Isso porque os números pares e os múltiplos de 3 acontecem em intervalos fixos.
- Número par: Um desses três números sempre será par, ou seja, divisível por 2.
- Múltiplo de 3: Pelo menos um dos três números será divisível por 3.
Passo 5
Assim, no produto
, temos um fator que é divisível por 2 e outro que é divisível por 3. Portanto, o produto todo será divisível por
.
Passo 6
Já que
é divisível por 6, isso significa que:
Ou seja, o resto da divisão de
por 6 é igual ao resto da divisão de
por 6, para qualquer inteiro
.
Resposta
Então, mostramos que para qualquer número inteiro
,
.