Encontre os autovalores e autovetores da matriz
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar os autovalores e autovetores da seguinte matriz:
Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre valores próprios e vetores próprios. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Encontrando os autovalores
Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica da matriz, que é dada por:
Aqui,
é a matriz dada,
é a matriz identidade e
representa os autovalores que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos montar a equação característica substituindo
e
:
Calculando o determinante dessa matriz:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a expressão:
Passo 5
Temos uma equação quadrática para resolver:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
Assim, os autovalores são:
Passo 6
Encontrando os autovetores
Para cada autovalor, vamos encontrar um vetor não nulo que satisfaça:
Vamos começar com
.
Passo 7
Substituindo
na matriz
:
$$
$$
Resolvendo o sistema:
Podemos ver que as duas equações são iguais. Vamos resolver a primeira:
Escolhendo
, temos
.
Portanto, um autovetor correspondente a
é:
Passo 8
Agora, vamos encontrar o autovetor para
.
Substituindo
na matriz
:
$$
$$
Resolvendo o sistema:
Novamente, as duas equações são equivalentes. Vamos resolver a primeira:
Escolhendo
, temos
.
Portanto, um autovetor correspondente a
é:
Resposta
Os autovalores da matriz são
e
, com os respectivos autovetores: