Encontre os autovalores e autovetores da matriz
[ll 4 & 5 2 & 1 ]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar os autovalores e autovetores da seguinte matriz:
4 & 5 2 & 1
Para isso, vamos usar conceitos de Álgebra Linear, especificamente sobre valores próprios e vetores próprios. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Encontrando os autovalores
Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica da matriz, que é dada por:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, A é a matriz dada, I é a matriz identidade e lambda representa os autovalores que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos montar a equação característica substituindo A e I:
det 4 - lambda & 5 2 & 1 - lambda = 0
Calculando o determinante dessa matriz:
(4 - lambda)(1 - lambda) - (2 times 5) = 0

Passo 4

Agora, vamos simplificar a expressão:
(4 - lambda)(1 - lambda) - 10 = 0 4(1 - lambda) - lambda(1 - lambda) - 10 = 0 4 - 4lambda - lambda + lambda^2 - 10 = 0 lambda^2 - 5lambda - 6 = 0

Passo 5

Temos uma equação quadrática para resolver:
lambda^2 - 5lambda - 6 = 0
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes:
lambda = 5 pm raiz25 + 242 = 5 pm raiz492 = 5 pm 72
Assim, os autovalores são:
lambda1 = 5 + 72 = 6 lambda2 = 5 - 72 = -1

Passo 6

Encontrando os autovetores
Para cada autovalor, vamos encontrar um vetor não nulo que satisfaça:
(A - lambda I) v = 0
Vamos começar com lambda1 = 6.

Passo 7

Substituindo lambda = 6 na matriz (A - lambda I):

$$
4 - 6 & 5 2 & 1 - 6 = -2 & 5 2 & -5

-2v1 + 5v2 = 0 2v1 - 5v2 = 0
$$
Resolvendo o sistema:
-2v1 + 5v2 = 0 2v1 = 5v2 v1 = 52v2
Podemos ver que as duas equações são iguais. Vamos resolver a primeira:
v2 = 2
Escolhendo v1 = 5, temos lambda1 = 6.
Portanto, um autovetor correspondente a v1 = 5 2 é:

Passo 8

Agora, vamos encontrar o autovetor para lambda2 = -1.
Substituindo lambda = -1 na matriz (A - lambda I):

$$
4 - (-1) & 5 2 & 1 - (-1) = 5 & 5 2 & 2

5v1 + 5v2 = 0 2v1 + 2v2 = 0
$$
Resolvendo o sistema:
5v1 + 5v2 = 0 v1 = -v2
Novamente, as duas equações são equivalentes. Vamos resolver a primeira:
v2 = 1
Escolhendo v1 = -1, temos lambda2 = -1.
Portanto, um autovetor correspondente a v2 = -1 1 é:

Resposta

Os autovalores da matriz são lambda1 = 6 e lambda2 = -1, com os respectivos autovetores:
v1 = 5 2, v2 = -1 1

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