Uma função cúbica é um polinômio de grau 3 , isto é, tem a forma
, onde
.
(a) Mostre que uma função cúbica pode ter dois, um ou nenhum ponto crítico, isto é pontos
tais que
. Dê exemplos e faça esboços para ilustrar as três possibilidades.
(a) Mostre que uma função cúbica pode ter dois, um ou nenhum ponto crítico, isto é pontos
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função cúbica da forma
, onde
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve derivadas e análise de pontos críticos. Precisamos mostrar que essa função pode ter dois, um ou nenhum ponto crítico, que são os pontos onde a derivada primeira
é igual a zero.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada da função cúbica. A derivada nos dá a inclinação da curva em cada ponto e é definida como:
Essa é uma equação quadrática, e os pontos críticos são os valores de
que fazem
.
Passo 3
Para descobrir quantos pontos críticos existem, precisamos analisar as raízes da equação quadrática
. O número de soluções dessa equação depende do discriminante
, que é calculado por:
- Se
, a equação tem duas soluções reais distintas. - Se
, há uma solução real dupla. - Se
, não existem soluções reais.
Passo 4
Vamos traduzir isso para a função cúbica:
- Dois pontos críticos: Quando
, ou seja, . A função terá dois pontos onde a inclinação é zero. - Um ponto crítico: Quando
, ou seja, . A função terá exatamente um ponto onde a inclinação é zero, um ponto de inflexão. - Nenhum ponto crítico: Quando
, ou seja, . A função não terá nenhum ponto onde a inclinação é zero.
Passo 5
Agora, vamos dar exemplos para cada caso:
Dois pontos críticos:
Considere .
Considere
- Derivada:
- Discriminante:
- Possui dois pontos críticos.
Um ponto crítico:
Considere .
Considere
- Derivada:
- Discriminante:
- Possui um ponto crítico.
Nenhum ponto crítico:
Considere .
Considere
- Derivada:
- Discriminante:
- Não possui pontos críticos.
Passo 6
Para ilustrar, aqui estão os esboços aproximados das três possibilidades:
Dois pontos críticos:
Uma curva que sobe, desce, e depois sobe novamente, formando um máximo e um mínimo.
Uma curva que sobe, desce, e depois sobe novamente, formando um máximo e um mínimo.
Um ponto crítico:
Uma curva que apenas muda suavemente sua inclinação, sem formar um máximo ou mínimo claro, apenas um ponto de inflexão.
Uma curva que apenas muda suavemente sua inclinação, sem formar um máximo ou mínimo claro, apenas um ponto de inflexão.
Nenhum ponto crítico:
Uma curva que está sempre subindo ou sempre descendo, sem mudar sua inclinação para formar picos ou vales.
Uma curva que está sempre subindo ou sempre descendo, sem mudar sua inclinação para formar picos ou vales.
Resposta
Uma função cúbica pode ter dois, um ou nenhum ponto crítico, dependendo do discriminante da sua derivada. Exemplos ilustram cada caso com esboços representando duas curvas com pontos máximos e mínimos, uma curva com apenas um ponto de inflexão, e uma curva sempre crescente ou decrescente sem pontos críticos.
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Calcule
66)
66)
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seja
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então