Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
61. y = cos(pi x / 2), y = 0, 0 <= x <= 1 em torno do eixo y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas , e ao redor do eixo . Para isso, vamos precisar entender como funciona o método das cascas e aplicar um pouco de cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. Ela está entre e , acima do eixo e abaixo da curva . Como vamos girar essa área em torno do eixo , o método das cascas cilíndricas é perfeito porque ele considera fatias verticais dessa região.

Passo 3

O método das cascas cilíndricas nos diz que o volume pode ser calculado usando a fórmula:
Aqui, é a distância da casca ao eixo de rotação (no caso, o eixo ), e é a altura da casca, que corresponde à função .

Passo 4

Vamos identificar os limites de integração. Como varia de 0 a 1, temos e . Assim, nossa integral fica:
Para resolver essa integral, vamos usar integração por partes, onde escolhemos e .

Passo 5

Calculando e :
Aplicando a integração por partes:
Agora, integremos :
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Agora, vamos avaliar a integral de 0 a 1:
Calculando em :
E em :
A diferença entre os valores:

Passo 7

Voltando à fórmula do volume:

Resposta

O volume é unidades cúbicas.

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