Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
61.
em torno do eixo
61.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas
,
e
ao redor do eixo
. Para isso, vamos precisar entender como funciona o método das cascas e aplicar um pouco de cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. Ela está entre
e
, acima do eixo
e abaixo da curva
. Como vamos girar essa área em torno do eixo
, o método das cascas cilíndricas é perfeito porque ele considera fatias verticais dessa região.
Passo 3
O método das cascas cilíndricas nos diz que o volume
pode ser calculado usando a fórmula:
Aqui,
é a distância da casca ao eixo de rotação (no caso, o eixo
), e
é a altura da casca, que corresponde à função
.
Passo 4
Vamos identificar os limites de integração. Como
varia de 0 a 1, temos
e
. Assim, nossa integral fica:
Para resolver essa integral, vamos usar integração por partes, onde escolhemos
e
.
Passo 5
Calculando
e
:
Aplicando a integração por partes:
Agora, integremos
:
Então, substituindo de volta:
Passo 6
Agora, vamos avaliar a integral de 0 a 1:
Calculando em
:
E em
:
A diferença entre os valores:
Passo 7
Voltando à fórmula do volume:
Resposta
O volume é
unidades cúbicas.