Use o método das cascas cilíndricas para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas curvas e retas em torno das retas dadas: y = x^3, y = 8, x = 0 Do eixo y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de volumes usando o método das cascas cilíndricas. A gente tem as curvas , e a reta e precisa girar essa região em torno do eixo . Para isso, vamos precisar entender como as cascas cilíndricas funcionam e montar uma integral que nos dá o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A curva é uma função que cresce rapidamente, e é uma linha horizontal que corta essa curva. A reta é o eixo . Então, a área que vamos girar está limitada entre , e .

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, dividimos a região em fatias verticais (como cascas de uma cebola) e calculamos o volume de cada casca quando girada em torno do eixo . Cada casca tem um raio, uma altura e uma espessura . O volume de uma casca é dado por:

Passo 4

Aqui, o raio da casca é a distância do eixo até a posição , ou seja, . A altura da casca é a diferença entre e , ou seja, . Então, a expressão para o volume da casca fica:
Agora, precisamos integrar isso de até o ponto onde , que é .

Passo 5

Vamos montar a integral para o volume total:
Vamos resolver essa integral passo a passo:
Primeiro, distribuímos o :
Agora, integramos termo a termo:
Substituindo :
Como anula a expressão, temos:

Resposta

O volume do sólido obtido é unidades cúbicas.

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