Use o método das cascas cilíndricas para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas curvas e retas em torno das retas dadas:
Do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de volumes usando o método das cascas cilíndricas. A gente tem as curvas
,
e a reta
e precisa girar essa região em torno do eixo
. Para isso, vamos precisar entender como as cascas cilíndricas funcionam e montar uma integral que nos dá o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A curva
é uma função que cresce rapidamente, e
é uma linha horizontal que corta essa curva. A reta
é o eixo
. Então, a área que vamos girar está limitada entre
,
e
.
Passo 3
No método das cascas cilíndricas, dividimos a região em fatias verticais (como cascas de uma cebola) e calculamos o volume de cada casca quando girada em torno do eixo
. Cada casca tem um raio, uma altura e uma espessura
. O volume de uma casca é dado por:
Passo 4
Aqui, o raio da casca é a distância do eixo
até a posição
, ou seja,
. A altura da casca é a diferença entre
e
, ou seja,
. Então, a expressão para o volume da casca fica:
Agora, precisamos integrar isso de
até o ponto onde
, que é
.
Passo 5
Vamos montar a integral para o volume total:
Vamos resolver essa integral passo a passo:
Primeiro, distribuímos o
:
Agora, integramos termo a termo:
Substituindo
:
Como
anula a expressão, temos:
Resposta
O volume do sólido obtido é
unidades cúbicas.
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Use o método das cascas cilíndricas para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo y, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:
Use o método das cascas cilíndricas para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas curvas e retas em torno das retas dadas:
Da reta
Use o método das cascas cilíndricas para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas curvas e retas em torno das retas dadas:
e
Do eixo