Use o método das cascas cilíndricas para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas curvas e retas em torno das retas dadas: y = 2*x - x^2 e y = x Do eixo y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve encontrar o volume de um sólido de rotação usando o método das cascas cilíndricas. A gente tem as curvas e , e precisamos descobrir o volume quando a região limitada por essas curvas é girada em torno do eixo y. Pra isso, vamos precisar entender como aplicar o método das cascas cilíndricas e fazer algumas integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação:
Então, as soluções são x = 0 e x = 1. Isso significa que a região que vamos girar está entre x = 0 e x = 1.

Passo 3

Agora, vamos pensar no método das cascas cilíndricas. Esse método é ótimo para calcular volumes quando a rotação é em torno de um eixo vertical ou horizontal. A ideia é imaginar a região dividida em finas fatias verticais (cascas) e calcular o volume de cada uma dessas cascas.
A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui, x é o raio da casca, f(x) é a função de cima, g(x) é a função de baixo, e é a altura da casca.

Passo 4

Identificamos que, no intervalo de x = 0 a x = 1, a função está acima de . Portanto, e .
Substituindo na fórmula:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Avaliando de 0 a 1:

Passo 7

Multiplicando pelo :

Resposta

O volume do sólido obtido é unidades cúbicas.

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