Use o método das cascas cilíndricas para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas curvas e retas em torno das retas dadas:
e
Do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve encontrar o volume de um sólido de rotação usando o método das cascas cilíndricas. A gente tem as curvas
e
, e precisamos descobrir o volume quando a região limitada por essas curvas é girada em torno do eixo
. Pra isso, vamos precisar entender como aplicar o método das cascas cilíndricas e fazer algumas integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Resolvendo essa equação:
Então, as soluções são
e
. Isso significa que a região que vamos girar está entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos pensar no método das cascas cilíndricas. Esse método é ótimo para calcular volumes quando a rotação é em torno de um eixo vertical ou horizontal. A ideia é imaginar a região dividida em finas fatias verticais (cascas) e calcular o volume de cada uma dessas cascas.
A fórmula para o volume usando esse método é:
Aqui,
é o raio da casca,
é a função de cima,
é a função de baixo, e
é a altura da casca.
Passo 4
Identificamos que, no intervalo de
a
, a função
está acima de
. Portanto,
e
.
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Avaliando de
a
:
Passo 7
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume do sólido obtido é
unidades cúbicas.
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