Use o método das cascas cilíndricas para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas curvas e retas em torno das retas dadas:
Da reta
Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa calcular o volume de um sólido que resulta da rotação de uma região delimitada pelas curvas
,
,
e a reta
em torno da reta
. Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo integral usada para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região que vamos rotacionar. Temos a curva
, que cresce rapidamente, a reta horizontal
, a reta vertical
(o eixo y), e a reta horizontal
. Essa região fica entre
e o ponto onde
, que é
.
Passo 3
Como vamos girar essa região em torno da reta
, precisamos calcular a distância de cada casca cilíndrica a esse eixo de rotação. A distância será a diferença entre o valor de
da função e
.
Passo 4
No método das cascas cilíndricas, o volume de cada casca é dado por
. Aqui, o raio é a distância de
até
, ou seja,
. A altura da casca é a diferença entre a reta superior
e a curva
, que é
. A espessura é
.
Passo 5
Agora, montamos a integral para calcular o volume total:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Calculando a integral:
Avaliado de 0 a 2:
Calculando cada termo:
Então:
Resposta
O volume do sólido é aproximadamente
unidades cúbicas.
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e
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