Use o método das cascas cilíndricas para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas curvas e retas em torno das retas dadas: y = x^3, y = 8, x = 0 Da reta y = -2

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa calcular o volume de um sólido que resulta da rotação de uma região delimitada pelas curvas , , e a reta em torno da reta . Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo integral usada para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região que vamos rotacionar. Temos a curva , que cresce rapidamente, a reta horizontal , a reta vertical (o eixo y), e a reta horizontal . Essa região fica entre e o ponto onde , que é .

Passo 3

Como vamos girar essa região em torno da reta , precisamos calcular a distância de cada casca cilíndrica a esse eixo de rotação. A distância será a diferença entre o valor de da função e .

Passo 4

No método das cascas cilíndricas, o volume de cada casca é dado por . Aqui, o raio é a distância de até , ou seja, . A altura da casca é a diferença entre a reta superior e a curva , que é . A espessura é .

Passo 5

Agora, montamos a integral para calcular o volume total:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Calculando a integral:
Avaliado de 0 a 2:
Calculando cada termo:
Então:

Resposta

O volume do sólido é aproximadamente unidades cúbicas.

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