Use o método das cascas cilíndricas para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo y, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir: y = 3 / (2 * raiz(x)), y = 0, x = 1, x = 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas , , e em torno do eixo usando o método das cascas cilíndricas. Vamos precisar entender esse método e aplicar integrais para encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que vamos girar. As curvas e (o eixo ) delimitam a parte vertical, enquanto e são as linhas verticais que delimitam horizontalmente a região.

Passo 3

Agora, vamos lembrar do método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando a rotação é em torno de um eixo vertical ou horizontal e envolve pensar no sólido como uma soma de cascas cilíndricas finas. A fórmula para o volume usando esse método é:
onde é a distância do elemento à linha de rotação e é a altura da casca.

Passo 4

No nosso caso, estamos girando em torno do eixo , que é vertical. Portanto, será a distância da casca ao eixo , e será a altura da função .

Passo 5

Vamos identificar os limites de integração. A região está entre e . Então, nossos limites serão de 1 a 4.

Passo 6

Agora, substituímos na fórmula:
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 7

Agora, a integral fica:

Passo 8

Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de 1 a 4:

Passo 9

Substituindo de volta no volume:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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