Use o método das cascas cilíndricas para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação, em torno do eixo y, das regiões limitadas pelas curvas e retas a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume de um sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas
,
,
e
em torno do eixo
usando o método das cascas cilíndricas. Vamos precisar entender esse método e aplicar integrais para encontrar o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que vamos girar. As curvas
e
(o eixo
) delimitam a parte vertical, enquanto
e
são as linhas verticais que delimitam horizontalmente a região.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do método das cascas cilíndricas. Esse método é útil quando a rotação é em torno de um eixo vertical ou horizontal e envolve pensar no sólido como uma soma de cascas cilíndricas finas. A fórmula para o volume
usando esse método é:
onde
é a distância do elemento à linha de rotação e
é a altura da casca.
Passo 4
No nosso caso, estamos girando em torno do eixo
, que é vertical. Portanto,
será a distância da casca ao eixo
, e
será a altura da função
.
Passo 5
Vamos identificar os limites de integração. A região está entre
e
. Então, nossos limites serão de 1 a 4.
Passo 6
Agora, substituímos na fórmula:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Passo 8
Vamos calcular a integral:
Aplicando os limites de 1 a 4:
Passo 9
Substituindo de volta no volume:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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Determine o conjunto domínio da função
;
Calcule:
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Use o método das cascas cilíndricas para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas curvas e retas em torno das retas dadas:
Do eixo