Use o método das cascas cilíndricas para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas curvas e retas em torno das retas dadas: y = x^3, y = 8, x = 0 Da reta x = 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o volume de um sólido que surge quando a região delimitada pelas curvas , e é girada em torno da reta . Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica interessante para encontrar volumes de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região. A curva é uma função cúbica que cresce quando aumenta. A reta é uma linha horizontal que corta a curva no ponto onde , ou seja, . A reta é o eixo .

Passo 3

Agora, vamos visualizar a região que será girada. Entre e , a curva está abaixo da reta . Então, a área que queremos girar está limitada por essas três linhas.

Passo 4

Vamos aplicar o método das cascas cilíndricas. Esse método envolve imaginar a região dividida em finas “cascas” verticais. Cada casca, quando girada em torno da reta , forma um cilindro. A ideia é calcular o volume de cada uma dessas cascas e somar tudo.

Passo 5

Para usar as cascas cilíndricas, precisamos determinar a altura, o raio e a espessura de cada casca.
  • A altura da casca é a distância vertical entre e , ou seja, .
  • O raio é a distância horizontal da casca até a reta . Se a casca está em , então o raio é .
  • A espessura é uma pequena variação em , que chamamos de .

Passo 6

A fórmula para o volume de uma casca cilíndrica é dada por:
Substituindo o que encontramos:

Passo 7

Agora, para encontrar o volume total, precisamos integrar essa expressão de até :
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar termo a termo:
Avaliando de 0 a 2:
Calculando os valores:
Substituindo:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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