Use o método das cascas cilíndricas para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas curvas e retas em torno das retas dadas:
Da reta
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o volume de um sólido que surge quando a região delimitada pelas curvas
,
e
é girada em torno da reta
. Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica interessante para encontrar volumes de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor as curvas que delimitam a região. A curva
é uma função cúbica que cresce quando
aumenta. A reta
é uma linha horizontal que corta a curva
no ponto onde
, ou seja,
. A reta
é o eixo
.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a região que será girada. Entre
e
, a curva
está abaixo da reta
. Então, a área que queremos girar está limitada por essas três linhas.
Passo 4
Vamos aplicar o método das cascas cilíndricas. Esse método envolve imaginar a região dividida em finas “cascas” verticais. Cada casca, quando girada em torno da reta
, forma um cilindro. A ideia é calcular o volume de cada uma dessas cascas e somar tudo.
Passo 5
Para usar as cascas cilíndricas, precisamos determinar a altura, o raio e a espessura de cada casca.
- A altura da casca é a distância vertical entre
e , ou seja, . - O raio é a distância horizontal da casca até a reta
. Se a casca está em , então o raio é . - A espessura é uma pequena variação em
, que chamamos de .
Passo 6
A fórmula para o volume de uma casca cilíndrica é dada por:
Substituindo o que encontramos:
Passo 7
Agora, para encontrar o volume total, precisamos integrar essa expressão de
até
:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar termo a termo:
Avaliando de 0 a 2:
Calculando os valores:
Substituindo:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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e
Do eixo
Use o método das cascas cilíndricas para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas curvas e retas em torno das retas dadas:
Da reta
Use o método das cascas cilíndricas para determinar os volumes dos sólidos obtidos com a rotação das regiões limitadas pelas curvas e retas em torno das retas dadas:
e
Da reta
A região do primeiro quadrante limitada acima pela curva
, à esquerda pela reta
e abaixo pela reta
é girada em torno do eixo
para gerar um sólido. Determine o volume do solido pelo: Método do anel